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高中数学不等式解题技巧

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  高中数学不等式解题技巧有哪些呢,同学们清楚吗,不清楚的话,快来小编这里瞧瞧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“高中数学不等式解题技巧”,仅供参考,欢迎大家阅读。

  高中数学不等式解题技巧

  1)熟练掌握一元一次不等式(组),一元二次不等式(组)的解法

  (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法

  (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法

  (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法

  (5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式

  (6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论

  不等式的基本性质是什么

  不等式的基本性质有对称性,传递性,加法单调性,即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。

  通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等号也可以为 中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。

  不等式的基本性质:

  1、对称性。

  2、如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)。

  3、如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变。

  4、如果x>y,z>0,那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变。

  5、不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变。

  6、如果x>y,m>n,那么x+m>y+n。

  7、如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn。

  8、如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)。

  不等式的基本性质的另一种表达方式:

  1、对称性。

  2、传递性。

  3、加法单调性,即同向不等式可加性。

  4、乘法单调性。

  5、同向正值不等式可乘性。

  6、正值不等式可乘方。

  7、正值不等式可开方。

  8、倒数法则。

  拓展阅读:高中不等式知识点总结

  一、 知识点

  1.不等式性质

  比较大小方法:(1)作差比较法(2)作商比较法

  不等式的基本性质

  ①对称性:a > bb > a

  ②传递性: a > b, b > ca > c

  ③可加性: a > b a + c > b + c

  ④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

  a > b, c < 0ac < bc;

  ⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

  ⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

  ⑦乘方法则:a > b > 0, an > bn (n∈N)

  ⑧开方法则:a > b > 0,

  2.算术平均数与几何平均数定理:

  (1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

  (2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广:如果为实数,则

  重要结论

  1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;

  (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。

  3.证明不等式的常用方法:

  比较法:比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。

  综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

  分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。

  4.不等式的解法

  (1) 不等式的有关概念

  同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。

  同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。

  提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

  去分母、去括号、移项、合并同类项

  (2) 不等式ax > b的解法

  ①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

  ②当a<0时不等式的解集是{x|x

  ③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

  (3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

  (4)绝对值不等式

  |x|0)的解集是{x|-a

  o o

  -a   0   a

  |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:

  o o

  -a 0 a

  小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,通常有下列三种解题思路:

  (1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

  (2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

  (3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

  (5)分式不等式的解法

  (6)一元高次不等式的解法

  数轴标根法

  把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

  (7)含有绝对值的不等式

  定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

  ? |a| - |b|≤|a+b|

  中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

  ? |a+b|≤|a| + |b|

  中当且仅当ab≥0等号成立

  推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

  推广:|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

  推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

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本文来源:https://www.liuxue86.com/a/4131653.html
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