高考数学第一轮复习题（导数及应用）

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　　导数及其应用复习题

　　一、选择题

　　1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f ′(1)=2，则f ′(-1)=(　　)

　　A.-1 B.-2

　　C.2 D.0

　　[答案]　B

　　[解析]　f ′(x)=4ax3+2bx，∵f ′(1)=4a+2b=2，

　　∴f ′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2

　　要善于观察，故选B.

　　2.(2011•江西文，4)曲线y=ex在点A(0,1)处得切线斜率为(　　)

　　A.1 B. 2

　　C.e D.1e

　　[答案]　A

　　[解析]　y′=(ex)′=ex，所以k=e0=1.

　　3.(2011•重庆文，3)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)

　　A.y=3x-1 B.y=-3x+5

　　C.y=3x+5 D.y=2x

　　[答案]　A

　　[解析]　y′=-3x2+6x在(1,2)处的切线的斜率k=-3+6=3，

　　∴切线方程为y-2=3(x-1).即y=3x-1.

　　4.(2010•山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)

　　A.13万件 B.11万件

　　C.9万件 D.7万件

　　[答案]　C

　　[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′=-x2+81=(9-x)(9+x)，令y′=0得x=9，x∈(0,9)时，y′>0，x∈(0，+∞)时，y′<0，y先增后减，∴x=9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题.

　　5.(文)(2011•湖南文，7)曲线y=sinxsinx+cosx-12在点M(π4，0)处的切线的斜率为(　　)

　　A.-12 B.12

　　C.-22 D.22

　　[答案]　B

　　[解析]　∵y′=cosxsinx+cosx-sinxcosx-sinxsinx+cosx2

　　=1sinx+cosx2，∴y′|x=π4=12.

　　(理)(2011•湖南理，6)由直线x=-π3，x=π3，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)

　　A.12 B.1

　　C.32 D.3

　　[答案]　D

　　[解析]　S=∫π3-π3cosxdx=sinxπ3-π3

　　=sinπ3-sin-π3=3.

　　6.(2011•山东淄博)若函数y=f(x)在R上可导，且满足不等式xf ′(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)

　　A.af(a)>bf(b) B.af(a)

　　C.af(b)bf(a)

　　[答案]　A

　　[解析]　令F(x)=xf(x)，则F′(x)=xf ′(x)+f(x)，

　　由xf ′(x)>-f(x)，

　　得：xf ′(x)+f(x)>0，即F′(x)>0，

　　所以F(x)在R上为递增函数.

　　因为a>b，所以af(a)>bf(b).故选A.

　　7.(2011•江苏盐城)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)

　　A.0≤a<1 B.-1

　　C.0

　　[答案]　D

　　[解析]　f ′(x)=3x2-3a，

　　由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，

　　令f ′(x)=0，得x1=a，x2=-a.

　　则a∈(0,1)，∴0

　　8.(文)(2011•浙江文，10)设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)，若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y=f(x)的图像是(　　)

　　[答案]　D

　　[解析]　由F(x)=f(x)•ex得，

　　F′(x)=f′(x)ex+f(x)•(ex)′

　　=ex[ax2+(2a+b)x+b+c]

　　∵x=-1是F(x)的极值点，∴F′(-1)=0，得c=a.

　　∴f(x)=ax2+bx+a∴f′(x)=2ax+b

　　∴f′(-1)=-2a+b，f(-1)=2a-b

　　由f′(-1)=0，则b=2a，f(-1)=0，b=2a，故A，B选项可能成立;

　　由f′(-1)>0，∴-2a+b>0，∴f(-1)<0，故C选项也成立;

　　所以，答案选D.

　　(理)(2011•湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)=M02-t30，其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年)，则M(60)=(　　)

　　A.5太贝克 B.75ln2太贝克

　　C.150ln2太贝克 D.150太贝克

　　[答案]　D

　　[解析]　M′(t)=-M030ln2•2-t30，

　　∴M′(30)=-M060ln2=-10ln2，∴M0=600，

　　∴M(t)=600•2-t30，∴M(60)=600•2-2=150.

　　二、填空题

　　9.直线y=12x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b=________.

　　[答案]　ln2-1

　　[解析]　(lnx)′=1x，令1x=12，得x=2，∴切点(2，ln2)代入切线方程，得b=ln2-1.

　　10.(2011•山东烟台)曲线y=2x4上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为________.

　　[答案]　5162

　　[解析]　设直线l平行于直线y=-x-1，且与曲线y=2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d即为点P到直线y=-x-1的距离，对于y=2x4，y′=8x3，

　　则y′|x=x0=8x30=-1.

　　∴x0=-12，y0=18，

　　∴d=|-12+18+1|2=5162.

　　11.(苏北四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，xf ′x-fxx2>0(x>0)，则不等式x2f(x)>0的解集是________________.

　　[答案]　(-1,0)∪(1，+∞)

　　[解析]　设F(x)=fxx，则当x>0时，

　　F′(x)=xf ′x-fxx2>0，

　　∴F(x)在(0，+∞)上为增函数，且F(1)=f(1)=0.

　　∴当x>1时，F(x)>0，则有f(x)>0，

　　当0

　　又∵f(x)是R上的奇函数，

　　∴当-10，

　　当x<-1时有f(x)<0.

　　∴x2f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1，+∞).

　　12.(文)(2011•银川二模)已知函数y=f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y=12x+2，则f(1)+f′(1)=________.

　　[答案]　3

　　[解析]　由题可知f(1)=12×1+2=52，f′(1)=k=12，所以f(1)+f′(1)=3.

　　(理)(2011•浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)=2x-9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n+1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n=________.

　　[答案]　4

　　[解析]　由题可设f(x)=x2-9x+c(c∈R)，又f(0)的值为整数即c为整数，∴f(n)=n2-9n+c为整数，f(n+1)=(n+1)2-9(n+1)+c=n2-7n+c-8为整数，又x∈[n，n+1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2-7n+c-8=n2-9n+c，即n=4.

　　三、解答题

　　13.已知曲线y=x3.

　　(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;

　　(2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程;

　　(3)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程.

　　[解析]　(1)∵y=x3，∴y′=f ′(x)=3x2，且点(1,1)在曲线上，

　　∴f ′(1)=3×12=3，即所求切线的斜率k=3.

　　∴切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0.

　　(2)∵曲线y=x3，∴y′=f ′(x)=3x2.

　　显然点(1,0)不在曲线y=x3上 ，

　　设切点坐标为(x0，x30)，

　　∴所求直线的斜率k=f ′(x0)=3x20故所求直线方程为y-x30=3x20(x-x0).

　　又因为该直线过点(1,0)，代入得，

　　0-x30=3x20(1-x0)，

　　∴x20(2x0-3)=0，∴x0=0，或x0=32.

　　当x0=0时，k=3x20=0，

　　此时所求直线方程为y=0;

　　当x0=32时，k=3x20=274，

　　此时所求直线方程为y=274(x-1)，

　　即27x-4y-27=0.

　　∴所求直线方程为y=0，或27x-4y-27=0.

　　(3)由(2)知，所求直线方程为y-x30=3x20(x-x0).

　　又直线过点(1,1)，∴1-x30=3x20(1-x0)，

　　整理得(x0-1)2(2x0+1)=0，

　　∴x0=1，或x0=-12.

　　当x0=1时，k=3，

　　此时所求直线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0;

　　当x0=-12时，k=34，

　　此时所求直线方程为y-1=34(x-1)，

　　即3x-4y+1=0.

　　∴所求直线的方程为3x-y-2=0，或3x-4y+1=0.

　　14.(文)(2011•重庆文，19)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-12对称，且f′(1)=0.

　　(1)求实数a，b的值;

　　(2)求函数f(x)的极值.

　　[解析]　(1)∵f(x)=2x3+ax2+bx+1

　　∴f′(x)=6x2+2ax+b

　　由题意知-2a2×6=-12，∴a=3.

　　又f′(1)=0，∴6×12+2a+b=0，

　　∴6+6+b=0，∴b=-12.

　　∴a=3，b=-12.

　　(2)由(1)知a=3，b=-12.

　　∴f′(x)=6x2+6x-12=6(x2+x-2)=6(x+2)(x-1)

　　令f′(x)=0，得x1=-2，x2=1.

　　f′(x)、f(x)随x变化如下表

　　x (-∞，-2) -2 (-2,1) 1 (1，+∞)

　　f′(x) + 0 - 0 +

　　f(x)  极大值  极小值 

　　∴当x=-2时，f(x)取得极大值f(-2)=21，在x=1处取得极小值f(1)=-6.

　　(理)(2011•重庆理，18)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a，f′(2)=-b，其中常数a，b∈R.

　　(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;

　　(2)设g(x)=f′(x)e-x，求函数g(x)的极值.

　　[解析]　(1)因f(x)=x3+ax2+bx+1，

　　故f′(x)=3x2+2ax+b，

　　令x=1，得f′(1)=3+2a+b，由已知f′(1)=2a，

　　因此3+2a+b=2a，解得b=-3.

　　又令x=2，得f′(2)=12+4a+b，由已知f′(2)=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-32.

　　因此f(x)=x3-32x2-3x+1，从而f(1)=-52.

　　又因为f′(1)=2×(-32)=-3，故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-(-52)=-3(x-1)，即6x+2y-1=0.

　　(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x，

　　从而有g′(x)=(-3x2+9x)e-x.

　　令g′(x)=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3.

　　当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(-∞，0)上为减函数;

　　当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数;

　　当x∈(3，+∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，+∞)上为减函数;

　　从而函数g(x)在x1=0处取得极小值g(0)=-3，在x2=3处取得极大值g(3)=15e-3.

　　15.(2011•江苏，17)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm).

　　(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?

　　(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

　　[解析]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得

　　a=2x，h=60-2x2=2(30-x)，0

　　(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800，

　　所以当x=15时，S取得最大值.

　　(2)V=a2h=22(-x2+30x2)，V′=62x(20-x).

　　由V′=0得x=0(舍)或x=20.

　　当x∈(0,20)时，V′>0;当x∈(20,30)时，V′<0.

　　所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.

　　此时ha=12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.

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