以下2015武汉武昌区高三元月调考数学理试题及答案由出国留学网高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。
武昌区2015届高三年级元月调研考试
理 科 数 学 试 卷
本试题卷共5页，共22题。满分150分，考试用时120分钟
★祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．i为虚数单位，若 ,则
A．1 B． C． D．2
2．已知 , ，“存在点 ”是“ ”的
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
3．若 的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5 0.5
0.5 2.0
得到的回归方程为 .若 ，则 每增加1个单位， 就
A．增加 个单位 B．减少 个单位
C．增加 个单位 D．减少 个单位
5.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面 上.用一平行于平面 的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为 和 ，那么
A． B． = C． D．不确定
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是
A．24+ 和40
B．24+ 和72
C．64+ 和40
D．50+ 和72
7．已知x，y满足约束条件 若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
A.12或－1 B．2或12 C．2或1 D．2或－1
8．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B( ,—1)，C( ,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是
A．
B．
C．
D．
9．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ．设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
10．已知函数 是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线 对称，且 .若函数 在区间 上有10个零点（互不相同），则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14题）
11．已知正方形 的边长为 , 为 的中点, 为 的中点,则 _______.
12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是_______.
13.设斜率为 的直线 与双曲线 交于不同的两点P、Q，若点P、Q在 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 .
14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）.
（Ⅰ）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线 的参数方程是 （ 为参数，a为实数常数），曲线 的参数方程是 （ 为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . 若 与 分曲线 所成长度相等的四段弧，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分11分）
已知函数 的在区间 上的最小值为0.
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）当 时，求使 成立的x的集合.
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为 ，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数n，使得 ？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分12分）
如图,在棱长为2的正方体 中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.
（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；
（Ⅱ）当三棱锥 的体积取得最大值时，求二面角 的正切值.
20．（本小题满分12分）
对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：
日车流量x
频率 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0
将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆C： 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线 上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求 的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当 最小时，求点T的坐标．
22．（本小题满分14分）
已知函数 (a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1.
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)证明：当 时， ；
(Ⅲ)证明：当 时， .
武昌区2015届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C
二、填空题：
11． 0 12． an＝2n，或aN＝2N 13.
14.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
因为 时， ，所以 时 的取得最小值 .
依题意， ，所以 ；…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
要使 ，即 .
所以 ，即 .
当 时， ；当 时， .
又 ，故使 成立的x的集合是 .………………………………（11分）
18．解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，依题意，1， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，所以 或 .
因此，当 时， ；当 时， .……………………………………………（6分）
（Ⅱ）当 时， ，此时不存在正整数n，使得 ；
当 时，
.
由 ，得 ，解得 .
故 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）
19．解：设 .以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：
， ， ， ， , ， , ,
, .
（Ⅰ）因为 ， ，
所以 .
所以 .………………………………………（4分）
（Ⅱ）因为 ，
所以当 取得最大值时，三棱锥 的体积取得最大值.
因为 ，
所以当 时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为 , .
设平面 的法向量为 ，
则 得
取 ，得 .显然底面 的法向量为 .
设二面角 的平面角为 ，由题意知 为锐角.
因为 ，所以 ，于是 .
所以 ，即二面角 的正切值为 .………………………………（12分）
20．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则
P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P(A2)＝0.05，
所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分）
（Ⅱ） 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
， ，
， .
X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
因为X～B(3，0.7)，所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1. ……………………………………………（12分）
21．解：（Ⅰ）由已知可得 解得a2＝6，b2＝2.
所以椭圆C的标准方程是 . …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).
设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x＝my+2，x26＋y22＝1.
消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝-4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝12m2＋3.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为 .
因为 ，所以直线FT的斜率为 ，其方程为 .
当 时， ，所以点 的坐标为 ，
此时直线OT的斜率为 ，其方程为 .
将M点的坐标为 代入，得 .
解得 . ………………………………………………（8分）
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线 上任意一点可得，点T点的坐标为 .
于是 ，
.
所以
.
当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m＝±1时，等号成立，此时|TF||PQ|取得最小值 ．
故当|TF||PQ|最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）
22．解：（Ⅰ）由 ，得 .
又 ，所以 .所以 ， .
由 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增. ……………………（4分）
(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知 .
所以 ，即 ， .
令 ，则 .
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .…………（8分）
(Ⅲ)首先证明：当 时，恒有 .
证明如下：令 ，则 .
由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
所以 ，即 .
依次取 ，代入上式，则
，
，
.
以上各式相加，有
所以 ，
所以 ，即 .………（14分）
另解：用数学归纳法证明（略）
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