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四川省雅安市重点中学2015届高三1月月考
数学（理）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于
A． B． C． D．
2. 设 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．己知命题 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是
A. B. (−1, 3) C. D. (−3,1)
4. 执行如图所示的程序框图．若输入 ，则输出 的值是
A． B． C． D．
5．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.
则正确的命题是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6. 函数 （其中A＞0， ）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象
A. 向右平移 个长度单位
B. 向左平移 个长度单位
C. 向右平移 个长度单位
D. 向左平移 个长度单位
7. 已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A． B． C． D．
8. 若 ，则 的值为
A. B. 1 C. 2 D.
9．已知函数 ,且函数 恰有3个不同的零点,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
10. 集合 其中 ,则满足条件: 中 最小,且 的概率为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11. 已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，则 的值为 .
12. .若关于 ， 的不等式组 （ 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 .
13. 在直角三角形 中， ， ，点 是斜边 上的一个三等分点，则 ．
14. 设F是抛物线C1： 的焦点，点A是抛物线与双曲线C2： 的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离心率为 ．
15. 给出定义：若 (其中 为整数)，则 叫做离实数 最近的整数，记作 ，即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题：
① 的定义域是 ，值域是 ；
②点 是 的图像的对称中心，其中 ；
③函数 的最小正周期为 ；
④函数 在 上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.）[]
16．（本小题满分12分）
已知函数 的图像上两相邻最高点的坐标分别为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 求 的取值范围。
17．（本小题满分12分）
若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。
（Ⅰ）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；
（Ⅱ）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 的分布列和数学期望。
18.（本小题满分12分）
在数列 中， 为常数， ，且 成公比不等于1的等比数列.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 。
19．（本小题满分12分）
如图1，在Rt 中， ， .D、E分别是 上的点，且 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的余弦值；
（Ⅲ）当 点在何处时， 的长度最小，并求出最小值．
20.（本小题满分13分）
已知椭圆 的两焦点在 轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 的动直线 交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分14分）
已知函数 .
（Ⅰ）函数 在区间 上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求整数 的最大值；
（Ⅲ）试证明： （ ）。
2014—2015学年（上期）高三年级期末模拟
数学试题（理工类） 参考答案
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
由题意知 . ……………………………………..（4分）
（Ⅱ） 即 又 ,
. ……………………………………..（8分）
……………..（10分）
.……………..（12分）
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得： ….（2分）
有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
…………………………………..（5分）
（Ⅱ）依据知X的可能取值为1.2.3 …………………………………..（6分）
且 …………………………………..（7分）
………………………………..（8分）
…………………………………..（9分）
则X的分布列如下表：
X 1 2 3
p
…………………………………..（10分）
…………………………………..（12分）
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ 为常数，∴ …………………………..（2分）
∴ .
又 成等比数列，∴ ，解得 或 …………….（4分）
当 时， 不合题意，舍去. ∴ . …………………………………..（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……………………………………（6分）
∴ ………………………………（9分）
∴
………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明:在△ 中，
.又 平面 .
又 平面 ,又 平面 ,故平面 平面 ……（4分）
（Ⅱ）由(1)知 故以D为原点, 分别为x,y,z轴建立直角坐标系. 因为CD=2, 则 ……………（5分）
,设平面 的一个法向量为
则 取法向量 ,则直线BE与平面 所成角 ,
…………………………………（8分）
故直线BE与平面 所成角的余弦值为 . ………………………………（9分）
（Ⅲ）设 ,则 ,则 ,
,则当 时 最大为 . …………………（12分）
20．（本小题满分13分）
解: （Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2,即 故 ,
椭圆方程为 . ………………………………（4分）
（Ⅱ）当 与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为 ;
当 与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 . ……（6分）
下证明 为所求:
若直线 斜率不存在,上述已经证明.设直线 ,
,
, . …………………………（8分）
…………（10分）
,即以AB为直径的圆恒过点 . … …………………（13分）
注: 此题直接设 ,得到关于 的恒成立问题也可求解.
21. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题 … …………………（3分）
故 在区间 上是减函数 ……………………………（4分）
（Ⅱ）当 时， 在 上恒成立，取 ，则 ， …………………………………（6分）
再取 则 ………………………（7分）
故 在 上单调递增，
而 ， ………………………（8分）
故 在 上存在唯一实数根 ，
故 时， 时，
故 故 ………………………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令 ，
又 []
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