以下2015上海静安区高三一模数学文试题及答案由出国留学网高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。
静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测
数学（文）试卷
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 计算： .
2. 已知集合 ， ，则 .
3. 已知等差数列 的首项为3，公差为4，则该数列的前 项和 .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
5. 不等式 的解集是 .
6. 设 ，则 .
7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
8. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 轴的正半轴上，终边在射线 （ ）上，则 .
9. 已知两个向量 ， 的夹角为 ， ， 为单位向量， ，若 ，则 .
10. 已知两条直线的方程分别为 ： 和 ： ，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.
11. 若 ， 是一二次方程 的两根，则 .
12. 直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1，则直线 的方程是 .
13. 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是 .
14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为 ，则 的取值范围是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中，是偶函数且在 上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知直线 ： 与直线 ： ，记 . 是两条直线 与直线 平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
17. 已知 为虚数单位，图中复平面内的点 表示复数 ，
则表示复数 的点是（ ）
A. B. C. D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角 中， 、 、 分别为内角 、 、 所对的边长，且满足 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， 的面积 ，求 的值.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费 （元）与行车里程 （公里）之间的函数关系式 .
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，正方体 的棱长为2，点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 与 ， 于 .
（1）求异面直线 与 所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥 的体积.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数 （其中 ）.
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数 的反函数 ；
（3）若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ，则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断函数 与 在闭区间 上是否分离？若分离，求出实数 的取值范围；若不分离，请说明理由.
23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在数列 中，已知 ，前 项和为 ，且 .（其中 ）
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问是否存在正整数 、 （其中 ），使得 、 、 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ；否则，说明理由.
静安区2014学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学（文科）试卷答案
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 计算： .
解： .
2. 已知集合 ， ，则 .
解： .
3. 已知等差数列 的首项为3，公差为4，则该数列的前 项和 .
解： .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
解：45.
5. 不等式 的解集是 .
解： .
6. 设 ，则 .
解：256.
7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
解： .
8. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 轴的正半轴上，终边在射线 （ ）上，则 .
解： .
9. 已知两个向量 ， 的夹角为 ， ， 为单位向量， ，若 ，则 .
解：-2.
10. 已知两条直线的方程分别为 ： 和 ： ，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.
解： （或 或 ）.
11. 若 ， 是一二次方程 的两根，则 .
解：-3.
12. 直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1，则直线 的方程是 .
解： 或 .
13. 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是 .
解： .
14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为 ，则 的取值范围是 .
解： .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中，是偶函数且在 上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
16. 已知直线 ： 与直线 ： ，记 . 是两条直线 与直线 平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
解：B.
17. 已知 为虚数单位，图中复平面内的点 表示复数 ，
则表示复数 的点是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
解：C.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角 中， 、 、 分别为内角 、 、 所对的边长，且满足 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， 的面积 ，求 的值.
解：（1）由正弦定理： ，得 ，∴ ，（4分）
又由 为锐角，得 .（6分）
（2） ，又∵ ，∴ ，（8分）
根据余弦定理： ，（12分）
∴ ，从而 .（14分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费 （元）与行车里程 （公里）之间的函数关系式 .
解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）
（2） .
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，正方体 的棱长为2，点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 与 ， 于 .
（1）求异面直线 与 所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥 的体积.
解：（1）∵ 点 为面 的对角线 的中点，且 平面 ，
∴ 为 的中位线，得 ，
又∵ ，∴ ，（2分）
∵ 在底面 中， ， ，∴ ，
又∵ ， 为异面直线 与 所成角，（6分）
在 中， 为直角， ，∴ .
即异面直线 与 所成角的大小为 .（8分）
（2） ，（9分）
，（12分）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数 （其中 ）.
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数 的反函数 ；
（3）若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ，则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断函数 与 在闭区间 上是否分离？若分离，求出实数 的取值范围；若不分离，请说明理由.
解：（1）∵ ，∴ 函数 的定义域为 ，（1分）
又∵ ，
∴ 函数 是奇函数.（4分）
（2）由 ，且当 时， ，
当 时， ，得 的值域为实数集.
解 得 ， .（8分）
（3） 在区间 上恒成立，即 ，
即 在区间 上恒成立，（11分）
令 ，∵ ，∴ ，
在 上单调递增，∴ ，
解得 ，∴ .（16分）
23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在数列 中，已知 ，前 项和为 ，且 .（其中 ）
（1）求 ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，问是否存在正整数 、 （其中 ），使得 、 、 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组 ；否则，说明理由.
解：（1）∵ ，令 ，得 ，∴ ，（3分）
或者令 ，得 ，∴ .
（2）当 时， ，
∴ ，∴ ，
推得 ，又∵ ，∴ ，∴ ，
当 时也成立，∴ （ ）.（9分）
（3）假设存在正整数 、 ，使得 、 、 成等比数列，则 、 、 成等差数列，故 （**）（11分）
由于右边大于 ，则 ，即 ，
考查数列 的单调性，∵ ，
∴ 数列 为单调递减数列.（14分）
当 时， ，代入（**）式得 ，解得 ；
当 时， （舍）.
综上得：满足条件的正整数组 为 .（16分）
（说明：从不定方程 以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）
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