2015河北五个一名校联盟高三联考数学理试题及答案

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唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考
数学（理）试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．设集合 ， ，则 （　　）
A． 　　B． 　　C． 　　D．
2． 已知 是虚数单位， 和 都是实数，且 ，则 （    ）
A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．
3．设若  ，则 的值为
A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 
4．设 为两个非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的　　　　　　　　　　　　A．充分而不必要条件    B．必要而不充要条件
C．充要条件            D．既不充分也不必要条件
5．右图中， 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， 为该题的最终得分，当 时， 等于
A．    B． 　　C．      D．
6．已知  ，且  ，则 
   　A．     B．       C．      D．
7．已知 , 点 在 内，且 ，设  ，则 等于（   ）
A．       B．3      C．       D．
8．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则过点 和  ( )的直线的一个方向向量是(　　)
A．      B．     C．       D．
9．函数  的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为(   )
A．        B．4        C．        D．
10．在区间 和 上分别取一个数,记为 , 则方程 表示焦点在 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 （    ）
A．       B．      C．      D． 
11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位 ）
A．     B． 
C．  　D．
12．若曲线  与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为
    A．       B．      C．      D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13． 的展开式中 的系数为   ＊　＊    ．
14．若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为  ＊　＊    ．
15．设点 满足条件 ，点 满足 恒成立，其中 是坐标原点，则 点的轨迹所围成图形的面积是     ＊　＊    ．
16．在 中， 若 ，则 的最大值   ＊　＊  ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且
（Ⅰ）求证数列 是等差数列；（Ⅱ）设 求 ．
18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）求直方图中 的值；
（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一学生中任选 名学生，这 名学生中上学路上所需时间少于 分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的菱形， ， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）设 与 交于点 ， 为 中点，若二面角 的正切值为 ，求 的值．

20．已知抛物线 ，直线  与抛物线交于 两点．
（Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值．

21．已知函数
（Ⅰ）当 时，判断函数 的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ．

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知  外接圆劣弧 上的点（不与点 、 重合），延长 至 ,延长 交 的延长线于 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）．
（Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知 ，对 ， 恒成立，求 的取值范围．

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）
理科数学(答案)
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：BDADC      CBADB    AC
二、填空题：
13．   -200  ．14．      ．15．        ．16．      ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且
（Ⅰ）求证数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 求
解：（Ⅰ）      ①
              ②
①-②得：  整理得：
 数列 的各项均为正数， 
 时，  数列 是首项为 公差为 的等差数列              6分
（Ⅱ）由第一问得   
    12分

18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）求直方图中 的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的高一学生中任选 名学生，这 名学生中上学所需时间少于 分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 分钟的概率）
解：（Ⅰ）由直方图可得：
 ．
所以  ．                                      3分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于 小时的频率为：
 ，         
因为 ，
所以1200名新生中有 名学生可以申请住宿．          6分 
（Ⅲ） 的可能取值为     
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 分钟的概率为 ，
 ,         ,
 , ,
 ．            10分 
所以 的分布列为：
 
0 1 2 3 4
 
 
 
 
 
 

 ．（或 ）
所以 的数学期望为 ．          12分
19．已知四棱锥 中， ，底面 是边长为 的菱形， ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）设 与 交于点 ， 为 中点，若二面角 的正切值为 ，求 的值．
19．解：（Ⅰ） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分
从而平面PBD⊥平面PAC．    ……………6分
（Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD
因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分
又 ，且 ………………10分
从而 ………………11分
 
所以 ，即 ．       ………………………12分

法二：如图,以 为原点, 所在直线为 轴, 轴建立空间直角坐标系，则 , ,  …………8分
从而  ………………9分
因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为 ．……10分  
设平面PMD的法向量为 ,由 得
 
取 ，即  ……………11分
设 与 的夹角为 ，则二面角 大小与 相等
从而 ，得
 
从而 ，即 ．                 ……………12分
20．已知抛物线 ，直线  与抛物线交于 两点．
（Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值．

解：（Ⅰ）联立 ，消 并化简整理得 ．
依题意应有 ，解得 ．
设 ，则 ，
设圆心 ，则应有 ．
因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 ，
又  ．
所以  ，
解得 ． 
所以 ，所以圆心为 ．
故所求圆的方程为 ．
（Ⅱ）因为直线 与 轴负半轴相交，所以 ，
又 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知 ，所以 ，
直线 ： 整理得 ，点 到直线 的距离  ，
所以 ．  令 ， ，
 ，
      
  ＋ 0 －
  
极大 

由上表可得 的最大值为  ．所以当 时， 的面积取得最大值 ．
21．已知函数
（Ⅰ）当 时，判断函数 的单调区间并给予证明；
（Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ．
解：（Ⅰ） 时，  易知 从而 为单调减函数．………………４分
（Ⅱ） 有两个极值点 ，
即 有两个实根 ，所以
 ，得 ．
 ，得 ．………………6分
又 ，
所以 ………………8分
 ，得
  ………………10分
 ，
   ………………12分

另解： 由两个实根， ，
当 时， 所以 单调递减且 ，不能满足条件．
当 时， 所以 单调递减且
当 时， 所以 单调递增且 ，
故当 时， ，当 时 ，当 时② ，所以 由两个实根需要 ．即
 即 ， ，从而可以构造函数解决不等式的证明．
 有两个实根 ， 不是根，所以 由两个实根， ，
当 时， 所以 单调递减且 ，不能满足条件．
当 时， 所以 单调递减且
当 时， 所以 单调递增且 ，
故当 时， ，当 时 ，当 时② ，所以 由两个实根需要 ．即
 即 ， ，从而可以构造函数解决不等式的证明．
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
已知  外接圆劣弧 上的点（不与点 重合）,延长 至 ,延长 交 的延长线于 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ．

解：(Ⅰ)证明： 、 、 、 四点共圆
  ．………………2分
 
且 ,
  ,……………4分
  ．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,又 ,
所以 与 相似,
  ，…………7分
又 ,　　 ， 
根据割线定理得 ，……………9分
 ．……………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）．
（Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值．

解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程可化为
  ……………………………………………2分
又 ，[
所以曲线 的直角坐标方程为 …………4分
   （Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 …  ………6分
    令 ，得 ，即 点的坐标为(2，0)．
又曲线 为圆，圆 的圆心坐标为(1，0)，半径 ，则 … ……8分
所以 ………………………10分

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知 ，对 ， 恒成立，求 的取值范围．

解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴  + =(a+b)(  + )=5+ + ≥9
，故 + 的最小值为9，……5分
因为对a，b∈(0，+∞)，使 + ≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9，  7分当 x≤-1时，2-x≤9，
∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜ 时，-3x≤9，
∴ -1＜x＜ ，当 x≥ 时，x-2≤9，  ∴  ≤x≤11，∴ -7≤x≤11  …… 10分
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