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泰和中学 吉安县中吉水中学 永丰中学 2015届高三第一次联考数学(理科)试卷
命题人：吉水中学 周湖平 吉安县中 曾广述
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A．［-1，0］ B．［0，1］ C．［0，2］ D．［-1，1］
2．已知 ，若Z为实数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．设 （ ）
A． B． C． D．
4．下列命题正确的个数有（ ）
（1）存在 ，使得
（2）“ ”是“ ”的充要条件
（3）若 ，则
（4）若函数 在 有极值 ，
则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知某种程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．在集合 的所有非空子集中，任取一个集合 ，恰好满足条件“若 ，则 ”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知下面正三棱柱的俯视图如右图所示，则这个三棱柱外接球的体积为（ ）
A．28 B． C． D．
8．向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆，记绿豆落在P点，则
∠DPC∈(0， )的概率为（ ）
A． 1－ B．1－ C． D．
9．双曲线C的左、右焦点分别为 恰 为抛物线 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若 是以A 为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．若非零向量 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 有4个零点 ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．32
12．已知数列 是等差数列，且 ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．使 的展开式中系数大于200的项共有 项.
14．设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ,以 为直径的圆与椭圆在 轴上方部分交于点 ，则 = .
15．在 中，内角A、B、C的对边分别是 ，若 ，且 ，则 _____________。
16. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的平均温度均不低于22 ”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）
（1）甲地：5个数据的中位数为24，众数为22
（2）乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24
（3）丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区是 .
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知 ， ，其中 ，若函数 ，且 的对称中心到 对称轴的最近距离不小于 。
（1）求 的取值范围。
（2）在 中， 分别是角A、B、C的对边，且 ，当 取最大值时， ，求 的面积。
18．某工厂生产A、B两种型号的玩具，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于83为正品，小于83为次品，现随机取这两种玩具进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 ［70，76) ［76，83) ［83，88) ［88，94) ［94，100)
玩具A（件）
8
12
40
32
8
玩具B（件） 7 18 40 29 6
（1）试分别估计玩具A为正品的概率和玩具B为正品的概率；
（2）生产1件玩具A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产1件玩具B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下，
（i）记 为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润，求随机变量 的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率.
19.如图，在 中， ， ，点 在线段 上，且 平分 ，将 沿 折成二面角 （点B与S重合），且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点， 分别为E的左、右焦点，过F1的直线l交E于A、B两点，且 。
（1）求椭圆E的方程；
（2）过圆O： 上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线斜率都存在，试探究这两条切线斜率之间的关系。
21．已知函数
（1）当a=1时，求 在点 处的切线方程，判断切线与 图象的公共点个数，并说明理由；
（2）若 有两个不同的零点 ，求证： .
四、选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，共10分）
22．如图，已知AD为圆O的直 径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12
（1）求证：BA DC=GC AD ；
（2）求BM.
23．在直角坐标系 中，以原点O为极点，以 轴正半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，已知点P的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 cos =a，且点P在直线 上。
（1）求a的值及直线 的直角坐标方程；
（2）设曲线C的参数方程 ( 为参数)，求曲线C上的点到直线 的最大值.
24．已知关于 的不等式
（1）当 ，求此不等式的解集；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
泰和中学 吉安县中吉水中学 永丰中学2015届高三第一次联考数学试卷(理科)答题卡
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．___________________ 14．__________________
15．___________________ 16．__________________
三、解答题（共70分）
17.（12分）
18.（12分）
19.（12分）
20.（12分）
21.（12分）
选做题（22、23、24中选一题做）（10分）
22. □ 23. □ 24. □
泰和中学 吉安县中吉水中学 永丰中学 2015届高三第一次联考数学（理科）答案
1-6 B C D B D C
7-12 D A A D B B
13. 2 14. 15. 16. 甲和丙
17.
由余弦定理得：
………………12分
18、（1）估计玩具A为正品的概率为 ……1分
估计玩具B为正品的概率为 ……2分
（2）①随机变量 的所有可能取值为90，45，30， 。
……6分
所以，随机变量 的分布列为：
90 45 30
P
……8分
②设生产的5件玩具B中正品有 件，则次品有( )件，依题意得 解得 ，所以 或 ，设“生产5件玩具B所获得利润不小于140元”为事件C，则 。……12分
19. 解：（1）过点S作SH CP于H，连AH，则
，又
又 即
又
平面ACP， 平面SPC平面APC ……6分
（2）方法一：以H为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 .
, ,
,设平面SPC与平面SCA的法向量分别为 ,则显然 ,计算易得 .设二面角 的大小为 ,则 .
……12分
方法二：过H作 交AC于点M,则 平面SCP,过H作 于点N,连接MN,则 为二面角 的平面角,又
. ……12分
20．解：（1）设椭圆E的方和是
知
…………………………………………………………5分
（2）两切线互相垂直………………………………………………………6分
设点 且与椭圆E相切的切线 的方程为
联立
设满足题意的切线的斜率为k1、k2，则
两条切线相互垂直。………………………………………………12分
21、解: （1）当 时， ，
，又 切线方程为 ……2分
切线 与 的图象只有一个交点，证明如下：
当 时， ， 单调递增 ；当 时， ， 单调递减，所以 ，所以切线 与 的图象只有一个交点。……5分
（2）不妨设 ，因为 ，所以 ， ，可得 ，要证明 ，即证明 ，也就是 。因为 ，所以即证明 ，即 ，令 ，则 ，于是 。
令 ，则 ，故函数 在 是增函数，所以 ，即 ，所以原不等式成立。……12分
四、选考题：在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22、解：(1） ，
，则 ，
而 ，……5分
（2） ， ，则 ， ， ，即 ， ， ，延长BO交 O于点N，则
，解得 ……10分
23、解：（1） 直线 ：
， ，则
……5分
（2）
……10分
24、解：（1） 时，原不等式可化为 ，即
（i） 时， ，则
（ii） 时， ，则 ，
综上原不等式的解集为 或 ……5分
（2）依题意， 在 上恒成立，
由图象可得只需 或 ，即 或 ……10分
点击下载：江西省重点中学四校联考数学（理）.doc
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