高中数学必修2《直线的倾斜角和斜率》教案
【教学目标】
(1) 知识目标
① 让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。
③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
(2)能力目标
① 通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
② 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
(3)情感目标：
① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生
的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
② 通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
【教学重点】
①直线倾斜角与斜率概念;
②推导并掌握过两点的直线斜率公式;
③体会数形结合及分类讨论思想的作用。
【教学难点】
斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。
【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。
【教学手段】多媒体辅助课堂教学。
【教学过程】
创设情境，导入新课
利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问
坐哪个滑梯更刺激，速度更快?为什么?(学生回答)
滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。
问题情境，形成概念
问题1、过平面直角坐标系内两点P、Q可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点P)可作多少条直线?若只想确定其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗?还需要增加一个什么样的几何量?
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
(1)已知直线上两点
(2)已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题2、过点P与x轴形成 角的直线有几条?
(学生可能答一条或两条，投影演示结果)如何区分这两条直线呢?(学生可能想到还需要确定一个角)。
为什么已知直线上一点和直线与x轴所成的角不能唯一确定一条直线?选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能确定坐标系下的一条直线呢?
(引导学生选取哪个角描述直线的倾斜程度，可分别确定这两条直线)
经历了这个角的形成过程，让学生用数学语言准确描述这个角(倾斜角的定义)。
师生互动，新课探究
1、倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线 ，把 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 重合所成的角，叫做直线 的倾斜角。
通过动画演示，帮助学生理解倾斜角定义。
问题3、在平面直角坐标系中过点P的直线，按倾斜角分，可分为几类?(让学生试着画)
学生容易忽略与 轴平行的直线，补出图(4)，问倾斜角在哪儿?
如何规定?(当直线 与 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 )数形结合，得出倾斜角的范围是[0 ，180 )
平面直角坐标系中一条直线 倾斜角
(倾斜角是从“形”的角度刻画平面直角坐标系内直线的倾斜程度)。
回顾旧知，迁移应用
(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度?
(坡角与坡度)
(2)坡度定义是什么?
(3)坡度随坡角 变化如何变化?当坡角 =90 与0 时坡度又分别是什么?
斜坡 平面直角坐标系中的直线
坡角 直线的倾斜角
坡度 直线的斜率。
左图中倾斜角为锐角，图中横坐标x从0到1增加一个单位，纵坐标y从0增加到k(k>0),我们称k为这条直线的斜率。 ，右图中倾斜角为钝角，在以后学习中可知，直线斜率也可用倾斜角的正切值表示。
2、斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即
问题4、当直线的倾斜角 为钝角时，如何求它的斜率?
倾斜角 为钝角的斜率，可转化到其补角 来求
如：倾斜角 ，则斜率
讨论交流，加深理解
问题5、当倾斜角变化时，斜率k如何变化?(动画演示)
新知演练 及时反馈
例1、下列哪些说法是正确的( D、F )
A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D、直线斜率的范围是R
E、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
F、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
尝试推导，深化认识
两点 一条直线 直线倾斜角 直线斜率
问题6、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1 x2，怎样用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k?
解：设直线P1 P2倾斜角为 ( 90 ),过点P1作 轴的平行线，过点P2作 轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为(x2，y1)
(1)当 为锐角时，
设 x= , y=
=
(2)当 为钝角时， (设 = )，
设 x= , y=
即
(可让学生分组推导)
综上，无论 为锐角或钝角，都有 ，即
思考： 1、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗?
2、斜率公式使用时应注意什么问题?
新知演练 及时反馈：
例2.求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。
(1)A(3,2),B(-4,1)
(2)A(3,2),B(4,1)
(3)A(3,2),B(3,-1)
(4)A(3,2),B(-4,2)
小结全课，概括升华
1、倾斜角和斜率的概念：
(1)两者都是刻画直线倾斜程度的两个量，一个从形方面，一个从数方面。
(2)倾斜角取值范围
2.求斜率的方法：k=tanα，
3、数学思想方法：分类讨论思想，数形结合思想。
板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义
范围[0 ，180 )
2、直线的斜率
①定义法
为锐角时： ( )
为钝角时：
②坐标法
布置作业
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