梯形中的对角线三角形面积揭秘
天津市武清区城关镇中学 郭春港
梯形的对角线三角形，是指梯形中由边和对角线围成的三角形. 那么，一个梯形中，由两对角线和边围成的三角形共有八个，它们具有如下性质：当底、高一定时，梯形的对角线三角形面积不变.即，只要梯形的两底和高确定了，不管它的形状如何变化，各对角线三角形的面积都不会改变.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O.设AD＝
，BC＝
，梯形的高为
.
，BC＝，梯形的高为.
我们以这个梯形ABCD为例，将其对角线三角形分成两组来讨论.
第一组：以梯形两边和一条对角线围成的三角形，图中有△ADB、△DAC、△ABC、△DBC.
其中，
，
.
，.即这四个三角形面积只和底边和高有关，不随形状的改变而变化.
第二组：以梯形一边和两条对角线围成的三角形，图中有△ABO、△BCO、△CDO、△DAO.
在△ABO、△DAO中，
∵AD∥BC，∴DO∶BO＝AD∶BC＝∶.
∶.∴
，
，∴
，
，∴
.
.∴
.
.同样方法可推出：
，
.
可见，这四个三角形的面积也只与底边和高有关，且
.
.综上所述，命题即可得证.
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