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09-24
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不等式的基本性质
不等式的基本性质有对称性,传递性,加法单调性,即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
一、不等式的基本性质
1.如果x>y,那么yy;(对称性),那么x>
2.如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;
4.如果x>y,z>0,那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;
5.如果x>y,z<0,那么xz
6.如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
8.如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂
二、不等式的基本性质的另一种表达方式
1.对称性;
2.传递性;
3.加法单调性,即同向不等式可加性;
4.乘法单调性;
5.同向正值不等式可乘性;
6.正值不等式可乘方;
7.正值不等式可开方;
8.倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式。
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不等式的基本性质说课稿
一、说教材
(一)、地位与作用:《不等式的基本性质》是初中数学北师大版八年级下册第一章第二节。在此之前,学生已学习了不等关系,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。不等式的基本性质在教材中起着承上启下的作用。关于它的学习是以等式的基本性质为基础,它是学生以后顺利学习一元一次不等式和一元一次不等式组的解法的重要理论依据,是学生后继学习的重要基础和必备技能。
(二)、 教学目标:
根据上述教材分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征 ,我制定如下教学目标:
1、知识目标:掌握不等式的基本性质。
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高考数学重要知识点:不等式的基本性质
1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。
1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。
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②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。
③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。
④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小
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不等式的基本性质知识点
1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a
① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数,
设x1, x2∈(-∞,+∞), x1+x22]
再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)
2.不等式的性质:
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有:
(1) a>bb
(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时,a>bac>bc
c<0时,a>bac
运算性质有:
(1) a>b, c>da+c>b+d。
(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
(3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。
(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。
应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。
② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:
(1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
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