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2015届高三年级第二次四校联考
数学（文）试题
2014.12
命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 已知集合 ，集合 ，则 等于
A． B． C． D．
2. 已知复数 ( 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点在
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 已知数列 满足 , ，则数列 的前 项和 为
A． B． C． D．
4. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知命题 ： ， ，命题 ： ， 则下列命题为真命题的是
A. B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的 值为
A. B． C． D．
7．已知向量 满足 ， ， ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
8. 已知圆 ,抛物线 的准线为 ,设抛物线上任意一点 到直线 的距离为 ,则 的最小值为
A． B． C． D．
9．已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
10. 已知 是第二象限角, ,函数
的图像关于直线 对称,则
A． B.
C. D.
11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
12. 已知函数 ，则方程 的根的个数不可
能为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 已知双曲线的渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为_______.
14. 点 满足不等式 ，，则 的最大值为________.
15. 已知三棱锥 中， ， ， ， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为________.
16. 已知定义在 上的函数 满足：①对于任意的 ，都有 ；②函数 是偶函数；③当 时， ，则 ， ， 从小到大的排列是______.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在公差不为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分12分)
如图，四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ， 为 的中点.
（1）证明: 平面 ;
（2）设 , ,求点 到平面 的距离.
19. (本小题满分12分)
已知向量 ， ，设函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，边 分别是角 的对边，角 为锐角，
若 ， ， 的面积为 ，求边 的长.
20. (本小题满分12分)
已知动圆 过定点 ，且与圆 : 相切，点 的轨迹为曲线 ，设 为曲线 上(不在 轴上)的动点，过点 作 （ 为坐标原点）的平行线交曲线 与 两点.
（1）求曲线 的方程；
（2）是否存在常数 ，使 总成立？若存在，求 ；若不存在，说明理由.
21. (本小题满分12分)
设函数 （ ）.
（1）若函数 在其定义域内为单调递增函数，求实数 的取值范围；
（2）设 ，且 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图， 边AB上的高，
（1）证明： 、 、 、 四点共圆；
（2）若 ， ，求 的长.
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 是参数 .
（1）写出曲线 的参数方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的值．
24．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式 ；
（2）对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
2015四校二联文科数学试题答案
一选择题 1-6 CBDACB 7-12DADCCA
二填空题 13. 或 14. 15. 6π 16.
三解答题17.解：
（1）设数列 的公差为 ，由题知， ， ……………1分
， ……………2分
即 ，又 ， ……………4分
， ……………5分
（2） ， ……………6分
①
②
①-②得 ……………9分
……………11分
……………12分
18.（1）连结BD交AC与点O，连结EO
∵底面ABCD为矩形 ∴O为BD的中点
又∵E为PD的中点 ∴OE为△PBD的中位线，
则OE∥PB ………4分
又 ，
∴PB∥平面AEC ……………6分
（2）∵PB∥平面AEC
∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等
∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC ……………8分
又S△ABC= ,且E到平面ABC的距离为
AC=2，EC= ，AE=1， ∴S△AEC= ……………10分
设P到平面AEC的距离为 ，
则 ，可得 =
∴P到平面AEC的距离为 ……………12分
19.（1）
……………3分
由 ，得
∴ 的单调递增区间为 ……………6分
（2）
∴ 又A为锐角，∴ ， …………9分
S△ABC= ， ∴ ，
则 ∴ ……………12分
20.(1)∵ 在圆B的内部 ∴两圆相内切，所以 ，
即
∴C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且长轴长 ， ， ，
∴曲线T的方程为： ……………4分
（2）当直线MN斜率不存在时， ,
∴ ，则 ……………5分
当直线MN斜率存在时，设 ， ，MN: ，则OQ: ，
由 得 ，则
， ……………7分
∴
……………9分
由 得 ，则 ，
∴ ，由 可解得 。
综上，存在常数 ，使 总成立。 ……………12分
21.解（1）f ′(x)=p＋px2－2x = px2－2x＋px2， ……………2分
依题意，f ′(x)≥0在(0, + ∞)内恒成立，
只需px2－2x＋p≥0在(0, + ∞)内恒成立，只需p≥2xx2＋1在(0, + ∞)内恒成立， …………4分
只需p≥（2xx2＋1）max=1，
故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+ ∞)。 ……………6分
（应该验证 时，符合题意，此题不验证也不扣分）
（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)= f(x)－g(x)= px－px－2ln x－2ex,x∈[1,e]，
h ′(x)=p＋px2－2x＋2ex2 = px2＋p＋2(e－x)x2， ………………8分
因为x∈[1,e]，p>0，所以h ′(x)>0在[1,e]上恒成立，
所以h(x) 在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)= h(e)=p(e－1e)－4,
依题意，要h(x) >0在[1,e]有解只需hmax(x) >0，所以p(e－1e)－4>0
解得p > 4ee2-1，所以p的取值范围是(4ee2-1, + ∞) ………………12分
22.(1)连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆， ,
, .
则四点A、B、P、Q共圆。 ……………………5分
(2) ,直角三角形 中，
,又 ,
………………10分
23.解:（1）由 得： ， ， ………………2分
即 ，
所以曲线 的参数方程： （ 为参数） …………………4分
（2）将 代入圆的方程得 ，
化简得 . 设 、 两点对应的参数分别为 、 ,
则 , …………………6分
,
, , 或 . ……………………10分
24.解：（1） -2 当 时， , 即 ，∴ ；
当 时， ,即 ,∴
当 时， , 即 , ∴1 6
综上，{ | 6} ……………………5分
（2）
函数 的图像如图所示：
令 ， 表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时， ；
∴当- 2，即 -2时成立； …………………8分
当 ，即 时，令 ， 得 ,
∴ 2+ ,即 4时成立，
综上 -2或 4。 …………………10分
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