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2015株洲市高三一模数学理试题及答案

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绝密★启用前
株洲市2015届高三年级教学质量统一检测(一)
数学试题答案(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.
命题人:张耀华(株洲市二中)  向为民(九方中学)  颜伟(南方中学)

 

第Ⅰ卷(选择题)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.设集合 , ,则 (  B   )
A.       B.       C.     D. 
2.复数 (其中 为虚数单位)的虚部等于(  B  )
 A.            B.           C.           D.
3.已知样本数据 的平均数是5,标准差是 ,
   则 (  A    )
   A.                    B.       
   C.      D.
4、阅读下面程序框图,则输出结果 的值为(  D   )                  
         A.       B.         
        C.         D.0
5.已知非零向量 , ,则 =( C )
A.          B.           C.            D. 
6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(  C   )


[来

 

 

A.              B.                    C.                    D.

7.函数 的部分图象如图所示,若 ,则 等于(   A )
    A.        B.         C.         D. 
8.  给出下列两个命题:命题 :“ , ”是“函数 为偶函数”的必要不充分条件;命题 :函数 是奇函数,则下列命题是真命题的是(C  )
A.         B.        C.          D.
9.若双曲线 的左、右顶点分别为A、B,点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α、β,且 ,那么α的值是(  D  )
 A.  B.  C.  D.
 10.已知关于 的方程 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数 的取值范围是(   A    )
A.           B.        C.          D. 

二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,11,12,13为选做题,14,15,16为必做题,共25分.请将答案填在答题卷上)
(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前2题给分)
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC= ,
   则AC=   2      .

12.关于x的不等式 有解时,d的取值范围是          .
13.已知直角坐标系 中,直线l的参数方程: (t为参数),以直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则以极点为圆心与直线l相切的圆的极坐标方程为                。
(二)必做题(14至16题)
14. 已知实数x、y满足 ,则目标函数 的最大值与最小值的和是  9     .
15.  展开式的中间项系数为20,右图阴影部分是由曲线 和圆 及x轴围成的封闭图形, 则封闭图形的面积S=   
16.已知函数 的图像不经过第四象限,则函数 的值域为
             

 


三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17、(本题满分12分)
设 , 满足 .
(Ⅰ)求函数 的单调递增区间;
(Ⅱ)设 三内角 所对边分别为 且 ,求 在
   上的值域.
解:(1)
       
       的单调减区间为       …………6分
  (Ⅱ)  ,由余弦定理可变形为 ,
  由正弦定理:                                       …………10分
   由                       …………12分
18.(本小题满分12分)
  如图1,在Rt 中, , . ,将 沿 折起到 的位置,使 ,如图2.
(Ⅰ)求证:  平面 ;
(Ⅱ)若 ,求平面 与平面 所成二面角的大小. 

 

 


解:(Ⅰ)证明: 在△ 中,
         .又 .
        由
             .            …………5分
       (Ⅱ)如图,以 为坐标原点,建立空间直角坐标系 .取A1C的中点F,连DF,
            则 
            
            由(1)可知, , 从而 
              为平面 的法向量,
            又  ,
            设平面 的法向量为
            由     
            
             平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为     …………12分


19.(本小题满分12分)
   某公司举办一次募捐爱心演出,有1000人参加,每人一张门票,每张100元。在演出过程中穿插抽奖活动,第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个实数 ( ),若满足 ,电脑显示“中奖”,则抽奖者再次获得特等奖奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中特等奖奖金。
(Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(Ⅱ)设特等奖奖金为a元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元,求a的最大值。
解:(Ⅰ)设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A,所有基本事件构成区域的面积为16,事件A所包含的基本事件的 区域的面积为5,∴P(A)=  .                …………5分
(Ⅱ)特等奖奖金为a元,设小李参加此次活动的收益为ξ,则ξ的可能取值为-100,900,a+900.
P(ξ=-100)= ,P(ξ=900)= ,P(ξ=a+900)=  .
∴ξ的分布列为
ξ -100 900 a+900

 
 

∴ .    …………10分
∴该集团公司收益的期望为 ,
由题意 ,解得a≤6400.
故特等奖奖金最高可设置成6400元.                                     …………12分
20. (本小题满分13分)
已知数列 中, , ,记 为 的前 项的和.
设 ,证明:数列 是等比数列;
不等式: 对于一切 恒成立,求实数 的最大值.
解:(1)
所以 是以 ,公比为 的等比数列.                               …………4分
 (2)由 知, ,
当 时,
当 时,
即                                           …………6分
 
 
  即得
所以                                                 …………11分
因 (当 时等号成立),
即所求的 最大值 .                                              ………… 13分


21.(本小题满分13分)
如图,焦点在x轴的椭圆C: (b > 0),点G(2,0),点P在椭圆上,且PG⊥x轴,连接OP交直线x = 4于点M,连接MG交椭圆于A、B.

(Ⅰ)若G为椭圆右焦点,求|OM|;
(Ⅱ)记直线PA,PB的斜率分别为 , ,求 的取值范围.

 

 

 

 

 

解:不妨设P在x轴上方,因为椭圆C的方程为 ,令x=2,则 ,
       所以点P的坐标为 ,
       根据题意可得P为线段OM的中点,所以M的坐标为 .
(Ⅰ)若G为椭圆右焦点,则 ,
      所以                     …………5分
(Ⅱ)因为直线AB过点M、G,所以AB的斜率为 ,
    则直线AB的方程为                     ① …………7分
  代入椭圆方程 并整理得:          .…………8分
设 , ,则由韦达定理有
 ,                 ②
所以, .
因为直线AB的方程为 ,所以  ,
所以      ③     …………12分
因为  , ,所以  ,
所以, 的取值范围是                         …………13分

 


22.(本小题满分13分)
已知函数 .
(1)当 时,求 在 处的切线方程;
(2)设函数 ,
(ⅰ)若函数 有且仅有一个零点时,求 的值;
(ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 , ,求 的取值范围.
解:(1)当 时, 定义域 ,
 
 ,又
 在 处的切线方程                  …………4分
(2)(ⅰ)令

即                
 令 ,
则       

 ,
 , 在 上是减函数

所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
 
所以当函数 有且今有一个零点时,                    …………9分
(ⅱ)当 , ,若 只需证明
 
 
令 得 或
又 ,
 函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增
又   ,         
 

                        …………13分
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