2015湖北武汉武昌区高三元月调考数学文试题及答案

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武昌区2015届高三年级元月调研考试
文 科 数 学 试 卷  
本试题卷共5页，共22题。满分150分，考试用时120分钟
★祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为 ，集合 ， ，则
A．          B．    
C．            D．
2.如果复数 的模为 ，则实数 的值为
A．2     B．      C．     D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．12 
B．24
C．40
D．72
4. 根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5  0.5
0.5  2.0

得到的回归方程为 .若 ,则 的值为
A．      B．     C．       D． 
5.已知正方形 的边长为 , 为 的中点,  为 的中点,则
A．0       B．1          C．2          D．4

6.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面 上.用一平行于平面 的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为 和 ，那么
A．          B． =        C．            D．不确定

7. 函数 满足 ，则 的所有可能值为
A．1或      B．       C．1     D．1或
8.函数 在区间 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 ，那么
A．        B．         C．2           D．4
9.设斜率为 的直线 与双曲线 交于不同的两点P、Q，若点P、Q在 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是
A．       B．2     C．      D．3
10.已知函数 的图象如图所示，若函数 在区间 上有10个零点（互不相同），则实数 的取值范围是
A．       B．      C．      D． 

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位    置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11. 已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：
年级 人数 近视率
小学 3500 10%
初中 4500 30%
高中 2000 50%
为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为___________；（Ⅱ）抽取的高中生中，近视人数为___________．
12.化简 =_____________.
13．已知点M的坐标 满足不等式组 则 的取值范围是_____________.
14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为100，则输出S的值为_______.

15.以 为圆心，并且与直线 相切的圆的方程为                    .
16.给出以下数对序列：
(1，1)
(1，2)  (2，1)
(1，3)  (2，2)  (3，1)
(1，4)  (2，3)  (3，2)  (4，1)
……
记第 行的第 个数对为 ，如 ，则
（Ⅰ）  ________；（Ⅱ）  ________．
17.已知函数 ，其中 ， ，则函数  在 上是增函数的概率为__________.

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分12分）
已知 ， ， 分别为 三内角 ， ， 的对边， ， ，  .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积.

19.（本小题满分12分）
已知数列 满足 ， ；数列 满足 ， ，且 为等差数列.
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .

20.（本小题满分13分）
如图，在直四棱柱 中，底面是边长为 的正方形， ，点E在棱 上运动.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若三棱锥 的体积为 时，求异面直线 ， 所成的角.

21.（本小题满分14分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，求 在区间 上的最大值；
（Ⅲ）证明：对 ，不等式 成立.

22．（本小题满分14分）
已知椭圆C： 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线 上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求 的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当 最小时，求点T的坐标．

武昌区2015届高三年级元月调研考试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
1. B    2.C    3．C    4. B    5.A    6.B    7. A    8.B    9.A    10.C
二、填空题：
11.（Ⅰ）200；（Ⅱ）20    12. 4    13．       14. 
15.  或
16.（Ⅰ） (4，2)；（Ⅱ）     17.  
三、解答题：
18.解：（Ⅰ） ， .
 ， ， ，即 .…………………………（6分）
（Ⅱ）方法一： 
 ，
 .………………………………………（12分）
方法二： ， ，
即 . 或 .
当 时， ，不合题意.
 .…………………………………………（12分）
19.解：（Ⅰ）由题意知数列 是首项 ，公比 的等比数列，
所以 ；
因为 ， ，
所以数列 的公差为 .
所以 .
所以 .…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）
 
  .………………………………………（12分）
20.解：（Ⅰ）连接BD.
 是正方形， .
 四棱柱 是直棱柱，
 平面ABCD.
 平面ABCD，
 .
 平面 .
 平面 ，
  .…………………………………………………（6分）
（Ⅱ） ， 平面 ，
 .
 ， .
 .
 ， 为异面直线 ， 所成的角.
在  中，求得 .
 平面 ， .
在  中，求得 ， .
所以，异面直线 ， 所成的角为 .……………………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ） 的定义域为 ， ，
由 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减. ………………………（4分）
（Ⅱ）（1）当 ，即 时， 在 上单调递增，所以
 .
（2）当 时， 在 上单调递减，所以
 .
（3）当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
 .…………………………………………………（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当 时， ，所以在 上，恒有
 ，即 且当 时等号成立.
因此，对 ，恒有 .
因为 ， ，所以 ，即 ，
所以 .
即对 ，不等式 成立. …………………………………（14分）
22．解：（Ⅰ）由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是 . …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为(2，0).
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x＝my+2.
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x＝my+2，x26＋y22＝1.
消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 ， .
于是 .
设M为PQ的中点，则M点的坐标为 .
因为 ，所以直线FT的斜率为 ，其方程为 .
当 时， ，所以点 的坐标为 ，
此时直线OT的斜率为 ，其方程为 .
将M点的坐标为 代入 ，
得 .解得 . ………………………………………（8分）
（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为 .
于是 ，
 
 
  .
所以
 
  .
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 取得最小值 ．
故当 最小时， 点的坐标是 或 ．…………………………………（14分）
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