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2012中考数学冲刺 分式的意义与性质精练1

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2012-05-12 22:56

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2012中考数学

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分式的意义和性质

  一、分式的概念

  1、用AB表示两个整式,A÷

B可以表示成 的形式,其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母,如果除式B中含有字母,式子 就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。

  2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式,那么,在分式里分母所包含的字母,就不一定可以取任意值。分式 的分子A可取任意数值,但分母B不能为零,因为用零做除数没有意义。一般地说,在一个分式里,分子中的字母可取任意数值,但分母中的字母,只能取不使分母等于零的值。

  3、(1)分式: ,当B=0时,分式无意义。

     (2)分式:

,当B0时,分式有意义。

     (3)分式:

,当 时,分式的值为零。

     (4)分式: ,当 时,分式的值为

1

     (5)分式: ,当 时,即

时, 为正数。

     (6)分式:

,当 时,即 时, 为负数。

     (7)分式: ,当 时 或

时, 为非负数。

    二、分式的基本性质:

  1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式,这个整式可以是数也可以是字母,只要是不为零的整式。

  2、这个性质可用式子表示为: M为不等于零的整式)

  3、学习基本性质应注意几点:

  (1)分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零;

  (2)易范错误是只乘(或只除)分母或只乘(或只除)分子;

  (3)如果分子或分母是多项式时,必须乘以多项式的每一项。

  4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

  5、分式的分子,分母和分式的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,如下列式子:

  

    三、约分:

  1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母,使分式化简为最简分式,最简分式又叫既约分式。

  2、约分的理论依据是分式的基本性质。

  3、约分的方法:

  (1)如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式,就约去分子和分母中相同因式的最低次幂,当分子和分母的系数是整数时,还要约去它们的最大公约数。

    四、例题分析

  例1,请说出下列各式中哪些是整式,那些是分式?
  (1   (2   (3

  (4   (5 a2- a  (6

  解:根据分式定义知(1)、(2)、(3)是分式,(

4)、(5)、(6)是整式。

  说明:判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。
  这里 是分式,不能因为

= =a+b
  而认为 是整式,a+b是分式 的值。
  要区分分式的值和分式这两个不同的概念。
  另外 是整式而不是分式。
  虽然分母中有π,但π不是字母而是无理数,是无限不循环小数,因此 的除式中不含字母。

  例2,在分式(1 2

3 中,字母x的值有什么限制?

  解:(1)在

中,当x=2时,使得分母x-2=0,∴x2,

  (2)在 中,当x=-2

时,使得分母x+2=0, x-2,

  (3)在 中,当x=-2

x=3时,使得分母(x+2)(x-3)=0

  ∴x-2x3

   例3x为何值时,分式 ,(1)无意义;(2)值为零;(3)值为1;(4)值为非负数。

  解:(1)∵当分母2x+3=0时分式无意义,∴x=- 时,分式无意义。

  (2)∵当

时,分式值为零。∴ ,∴x=1时分式值为零。       

  (3)∵当

时,分式值为1,∴x=-4时分式值为1

  (4)∵当

时,分式值为非负数。

  ∴  或  ∴ x1

x<- 时分式值为非负数。

  例4,当x取何值时,分式 1)值为零;(2

)无意义;(3)有意义。

  解:(1)∵当(x+3)(x-1)0时,分式有意义,∴当x-3x1

时分式有意义。

  又∵6-2|x|=0时分式值为零,则3-|x|=0, |x|=3, x=±3

  ∴

, ∴x=3时分式值为零。 

  解:(2)∵(x+3)(x-1)=0分式无意义,

  即

x+3=0x-1=0,∴x=-3x=1时分式无意义。

  说明:对于(1)也可先令分子为零,求出字母的所有可能值为x=±3后,再逐一代入分母验证是否为零,不为零者即为所求。

  对于(2)当x+3=0x-1=0时,都会使分式的分母等于零,所以要注意“或”字的使用。

  解:(3)∵(x+3)(x-1)0

时分式有意义。

  即x+30x-10时,∴x-3x

1时分式有意义,

  说明:对于(3)分母(x+3)(x-1)只有不为零时,分式有意义,而(x+3)(x-1)0,当x+3=0x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0

,所以应将x=-3x=1都同时排除掉,写成x-3x1,用“且”字,而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1,即-31都不能取。因为取任何其中一个值,分母(x+3)(x-1)都会为0,而使分式都会无意义。

  例5,写出等式中未知的分子或分母:

  (1

; (2 ; (3

  (1)分析:这类问题要从已知条件入手,根据分式的基本性质,分析变化的过程,如(1)右边分母x2-y2(x+y)(x-y),而左边分母为x+y,所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)

  解:

,∴未知的分子是(x-y)2,

  (2)分析:左边分子a2-ab=a(a-b),而右边分子是a-b,所以需将左式的分子和分母同除以a

  解: = ,未知的分母是b

  (3)∵a2+ab=a(a+b)

(将分子因式分解)

  ∴ (比较分子,发现分子、分母同乘以a
      = 2ab

即为所求的分母。

  例6,把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。

  (1 ; (2

  (1)分析:先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15,再据分数基本性质,分子和分母同乘以15

  解: =

  (2)解: = =

  注:必须乘以分子和分母的每一项,避免发生(0.2a+3b)

×10=2a+3b这样的错误。

  例7,不改变分式的值,使下列分式中分子与分母不含“-”号,(1- ;(2-

  解:根据分式的符号法则得:

  (1- = ; (2

- =-

  注意:分式、分子和分母的符号中,任意改变其中两个,分式的值不变。(1)中改变分式本身和分母两个负号,(2)中改变分子和分母两个负号。

  例8,不改变分式的值,依照x的降幂排列,使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。

  (1 ;(2

-

  解:(1 = = =

  (2- =- =- =-

  说明:解题可分为三步:(1)先将分式的分子和分母都按x的降幂排列,这步只是运用加法交换律,不改变符号。(2)将分子和分母的最高项系数化为正数,只要提取公因式-1即可,提取时注意每项都要变号。(3)运用符号法则进行变号。

  注意:如果分子或分母的首项为负,则必须先将负号提到括号外面,再使用符号法则,要注意避免下列的错误:

   =

    例9,约分:(1

  (2

  解:(1 = =

=-3yz10

  注意:分母的因式约去后得1,分式变为整式。若化简分式 时千万不要犯下列错误:
   =

=0

  (2 = = =-

  注意:分母的负号一般要移去。

  (2)如果分式的分子或分母是多项式,应先分解因式,然后再约分。

  例10、约分:(1

; (2
  (3 ; (4 ; (5

  解:(1 =

  注意:不要把 约成 = ,也不要将最后结果写成

,因为分式的横线表示括号,再写括号就多余了。

  (2 =

  注:不要将 约做 ,因为这样是分子分母都减a2,不是同除以相同的整式。

  (

3 = = =x2+1

  注:不要犯下面的错误: =x3-x2

  (4 = =

  = =-

  注意:这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。

  (5 =

(分子按x的降幂排列)

  = (分子提取公因式-1

  = (分子、分母都分解因式)

  = (约去公因式:x-1

  =- (应用分式的符号法则)

  说明:此题的解法,一方面显示出分式约分的一般步骤,另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理,平日的化简是不写这些的,但不是它不存在,在思维上它是不可缺少的。

  分数的乘除法的关键是约分,而分式乘除法的关键也是约分,就是说,分式乘除法运算的实质是约分,它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样,分式的约分是应用分式的基本性质,把分式的分子、分母同除以它们的公因式,把分式化简,因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。


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