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09-09
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2021考研数学高数备考知识点:函数的定义
1.定义(传统):
如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
2.构成函数的三要素:
定义域,值域,对应法则。
值域可由定义域唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,值域一定相同,它们可以视为同一函数。
3.对函数概念的理解:
函数三要素
(1)核心–;–;对应法则等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在“对应法则f”的作用下,即可得到y.因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径。是联系x与y的纽带,从而是函数的核心。对于比较简单的函数,对应法则可以用一个解析式来表示,但在不少较为复杂的问题中,函数的对应法则f也可以采用其他方式(如图表或图象等)。
(2)定义域定义域是自变量x的取值范围,它是函数的一个不可缺少的组成部分,定义域不同而解析式相同的函数,应看作是两个不同的函数。在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的。如果没有特别说明,函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合。在实际问题中,还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题。
(3)值域值域是全体函数值所组成的集合。在一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定。因此,判断两个函数是否相同,只要看其定义域与对应法则是否完全相同,若相同就是同一个函数,若定义域和对应法则中有一个不同,就不是同一个函数。同一函数概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。
(4)关于函数符号y=f(x)
1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示。仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”。f(x)也不一定是解析式。
2°、f(x)与f(a)的区别:f(x)是x的函数,在通常情况下,它是一个变量。f(a)表示自变量x=a时所得的函数值,它是一个常量即是一个数值。f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值。
3°、如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同,那么它们仍然是同一个函数,但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同,那么它们就不是同一个函数。
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中考数学考点:二次函数的定义和一般形式的结构特征
二次函数的定义:
一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的一般形式的结构特征:
①函数的关系式是整式;
②自变量的最高次数是2;
③二次项系数不等于零。
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中考数学考点精讲:反比例函数的定义与k的几何意义
反比例函数的定义:
定义:形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数。
其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数中k的几何意义:
过反比例函数y=k/x(k≠0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中,比例系数k有一个很重要的几何意义,那就是:过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。
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