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2022等差数列前n项和公式(详解)

 

  有的数学公式算法还是比较复杂的,很多公式求和之类的,也不是一步两步就可以算出结果的哦,出国留学网的小编今天就带你们去了解一下这个等差数列前n项和公式方法有哪些。

  等差数列前n项和公式方法有哪些

  1、用倒序相加法求数列的前n项和。

  如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。

  2、用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式:Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2)。

  对等差数列,求前n项和Sn可直接用等差数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。

  3、用裂项相消法求数列的前n项和。

  裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。

  4、用构造法求数列的前n项和。

  所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。

  什么是等差数列

  等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

  例如:1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为:an=a1+(n-1)*d。首项a1=1,公差d=2。前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意:以上n均属于正整数。

  等差数列前n项和公式方法有哪些?什么是等差数列?出国留学网的小编今天就先和你们普及到这里了哦,更多相关的数学公式我们下期再分享。

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  等差数列求和公式以及推导所用的方法

  等差数列求和公式怎么推导 有哪些推导方法

  等比数列前n项和公式推导过程(实用)

  等比数列求和公式是怎样的

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等比数列前n项和公式推导过程(实用)

 

  等比数列是数学中一个重要的知识点,那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  等比数列前n项和公式

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  公式中a1为数列首项,q为等比数列的公比,Sn为前n项和。

  等比数列前n项和公式推导过程

  等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

  推导如下:

  因为an=a1q^(n-1)

  所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

  qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

  (1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

  把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

  把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

  以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

  (2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

  于是得到

  (1-q)Sn=a1(1-q^n)

  即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

  拓展阅读:等比数列的性质

  ①在等比数列{an}{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N∗)m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N∗),则am⋅an=ap⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2;

  ②若数列{an}{an},{bn}{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0),{1an}{1an},{a2n}{an2},{an⋅bn}{an⋅bn},{anbn}{anbn}仍然是等比数列;

  ③在等比数列{an}{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,⋯an,an+k,an+2k,an+3k,⋯为等比数列,公比为qkqk;

  ④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项,S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2,S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2,则S偶S奇=qS偶S奇=q;

  ⑤等比数列的单调性,取决于两个参数a1a1和qq的取值,an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

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等差数列前n项和公式推导是什么

 

  等差数列是数学中一个很重要的知识点,也是一个十分常见的考点。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等差数列前n项和公式推导”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  等差数列求和公式

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推导过程

  (1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。

  (2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。

  (3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)。

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等差数列前n项和公式推导

 

  等差数列前n项和公式推导是怎样的呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“等差数列前n项和公式推导”,仅供参考,欢迎大家阅读。

  等差数列前n项和公式推导

  1.Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

  Sn=an+an-1+......a2+a1

  两式相加得:

  2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

  =n(a1+an)

  所以Sn=[n(a1+an)]/2。

  2.如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,

  则 an=a1+(n-1)d代入公式公式一得,

  Sn=na1+ [n(n+1)d]/2。

  拓展阅读:等差数列性质

  1.数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。

  2.在等差数列中,当项数为2n(n∈N+)时,S偶-S奇=nd,S奇÷S偶=an÷a(n+1);当项数为(2n-1)(n∈N+)时,S奇—S偶=a(中),S奇-S偶=项数*a(中),S奇÷S偶=n÷(n-1)。

  3.若数列为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍然成等差数列,公差为k^2d。

  4.若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别是Sn和Tn,则am/bm=S2m-1/T2m-1。

  5.在等差数列中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b)。

  6.等差数列中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上。

  7.记等差数列的前n项和为S.①若a>0,公差d<0,则当a≥0且an+1≤0时,S最大;②若a<0,公差d>0,则当a≤0且an+1≥0时,S最小。

  8.若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)。

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等比数列前n项和公式怎么求

 

  等比数列是高中数学重点知识之一,那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由出国留学网小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”,仅供参考,欢迎大家阅读。

  等比数列前n项和公式怎么求

  等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

  推导如下:

  因为an=a1q^(n-1)

  所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

  qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

  (1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

  把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

  把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

  以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

  (2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

  于是得到

  (1-q)Sn=a1(1-q^n)

  即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

  拓展阅读:等比数列的概念

  (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.

  数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数).

  (2)如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中G=±。

  2.等比数列的通项公式及前n项和公式

  (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;

  通项公式的推广:an=amqn-m.

  (2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==。

  3.等比数列的性质

  已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.

  (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an。

  (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,

  ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm。

  (3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn。

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