出国留学网等差数列求和公式推导

出国留学网专题频道等差数列求和公式推导栏目,提供与等差数列求和公式推导相关的所有资讯,希望我们所做的能让您感到满意!

等差数列求和公式怎么推导 有哪些推导方法

 

  等差数列是高中数学一个重要的知识点,也是考试中经常出现的一个考点。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等差数列求和公式怎么推导 有哪些推导方法”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  等差数列求和公式推导过程:

  设首项为a1 , 末项为an , 项数为n , 公差为 d , 前 n项和为Sn , 则有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d为公差)

  当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

  注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。

  求和推导 证明:由题意得: Sn=a1+a2+a3+。。。+an①

  Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②

  ①+②得: 2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)

  Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

  Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即(A1+An)

  拓展阅读:等比数列的五个基本公式

  (1)等比数列的通项公式是:

  An=A1×q^(n-1)

  若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

  (2) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

  (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:

  a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

  (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

  (5) 等比求和:Sn=a1+a2+a3+.......+an

  ①当q≠1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

  ②当q=1时, Sn=n×a1(q=1)

  记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

...