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2023年考研高等数学考前冲刺知识点
幂级数的常考题型：
现对幂级数的常考题型做如下整理：展开求和主要包括三种形式：
1、系数为有理函数；
2、系数中含有阶乘；
3、抽象型级数。
其中出题频次相对较高的是第一种。接下来我们就以往年考研试题为例，学习幂级数的基本解题思想：
浅析利用极坐标计算二重积分：
极值点、拐点求解技巧：
通过对历年考研考试题目的研究，基本题目均是已知导函数图形，判定函数的极值点与拐点个数。结合极值点的求解过程，我们可以总结出图形题的解题思路：
（1）找驻点及不可导点。即y’图像中与x轴的交点，以及图像中的无定义点。
（2）再用第一充分判定。即判定某点左右两侧y’的正负，若异号，则为极值点。
同理，若求解拐点，
（1）找y’’=0的点及二阶不可导点。即y’图像中切线水平的点，以及图像中的无定义点与不可导点。
（2）再用第一充分判定。即判定某点左右两侧y’的单调性，若相反，则为拐点。
高数考点变化及重难点分析：
一、极限的概念、性质及计算
重点：（1）函数极限的计算：七种未定式的计算，四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、对数恒等式、单侧极限等方法的使用；（2）数列极限的计算：直接计算、夹逼准则、定积分定义、单调有界收敛准则。
难点：（1）数列极限中利用夹逼准则和定积分定义求和式极限；利用单调有界收敛准则证明数列极限存在；（2）极限性质和收敛性的讨论。
二、极限的应用
重点：（1）连续的定义和判断间断点； （2）求曲线的水平、铅直和斜渐近线；（3）导数的定义与微分（4）讨论多元函数的极限、连续性、偏导性和可微性及其相互关系。
难点：分段函数和抽象函数可导性的讨论；多元函数可微性的判断。
三、导数的计算
重点：（1）一元函数导数的计算：初等函数（含幂指函数）、变限积分、隐函数、参数方程（数一、数二）、抽象函数、高阶导数等导数的计算；（2）多元函数导数的计算：复合函数和隐函数求偏导数，全微分的计算。
难点：变限积分求导、高阶导数计算、多元函数中抽象复合函数的偏导数计算。
四、导数的应用
重点：（1）一元函数微分学的应用：1）几何应用：平面曲线的切线和法线；曲率和曲率半径的计算，理解曲率圆（数一数二）；2）物理应用（数一和数二）：变化率；3）经济学应用（数三）：边际和弹性的概念、计算和经济学意义；4）单调性和凹凸性：利用导数判断函数的单调性和凹凸性；理解凹凸性的几何意义； 5）极值和拐点：利用导数判断函数的极值点和拐点，掌握判断的必要条件和充分条件；理解极值点和拐点的关系；6）最值：利用导数求解函数的最大值和最小值，最值在相关实际问题中应用。
（2）多元函数微分学的应用：1）多元函数极值：利用必要条件和充分条件求二元函数的极值；用拉格朗日乘数法求条件极值；求简单多元函数的最大值和最小值；2）空间解析几何中的应用（数一）：空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；3）方向导数和梯度（数一）：计算方向导数和梯度，理解二者之间的关系。
难点： 导数的物理应用；凹凸性的几何意义；条件极值的计算。
五、积分的计算
重点：（1）不定积分：掌握两类换元法和分部积分法；会求有理函数、三角有理式、指数有理式、根式等不定积分；（2）定积分：理解定积分的定义，掌握比较定理和积分中值定理；利用牛顿莱布尼茨公式计算各种不同形式的定积分：初等函数、分段函数、对称区间、抽象函数、递推公式等；（3）二重积分： 利用直角坐标和极坐标计算二重积分。
难点：反常积分的计算和收敛性的判别；二重积分中值定理的使用。
六、积分的应用
重点：几何应用 平面图形的面积；旋转体的体积；平面曲线的弧长（数一数二）；旋转曲面的面积（数一数二）。
难点：（1）微元法的基本思想和部分公式的理解和记忆；（2）物理应用（数一数二）：计算质量、质心、形心、 变力做工、静压力、转动惯量等。
七、常微分方程
重点：（1）解方程：可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、二阶（高阶）常系数线性微分方程、可降阶的微分方程（数一数二）；（2）理解线性微分方程解的性质及解的结构；（3）微分方程的应用：利用微分学和积分学知识列出微分方程并求解。
难点：（1）求解伯努利方程和欧拉方程（数一）；（2）利用物理知识列方程（数一数二）。
八、不等式、中值定理与零点问题（证明推理部分）
重点：（1）不等式证明：利用单调性凹凸性证明不等式；（2）中值定理：利用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、柯西中值定理证明相关结论；（3）零点问题：利用单调性、零点定理和罗尔定理等判断函数零点问题。
难点：定理的理解及其使用范围、辅助函数的构造，泰勒中值定理的使用。
九、无穷级数（数一数三）
重点：（1）常数项级数：利用级数收敛的性质和比较判别法、根值比值判别法判断正项级数的敛散性，用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性；（2）幂级数：计算级数的收敛半径和收敛域；求幂级数的和函数；将函数展开成幂级数。
难点：抽象级数敛散性的证明；抽象级数和函数的求解；傅里叶级数的计算和狄利克雷收敛定理。
十、多元函数积分学（数一）
重点：（1）利用直角坐标和求坐标计算三重积分；（2）会利用直接带入法（化为定积分）计算第一类曲线积分；（3）会利用直接代入法（化为定积分）直接计算第二类曲线积分，利用格力公式计算第二类曲线积分；利用斯托克斯公式计算三维的第二类曲线积分；掌握曲线积分与路径无关的条件，求二元函数全微分的原函数（4）会利用直接带入法（化为二重积分）计算第一类曲面积分；（5）会利用直接投影法、转换投影法、高斯公式计算第二类曲面积分。
难点：格林公式的使用；积分与路径无关的理解及相关计算；转换投影法和高斯公式的使用；散度与旋度的计算及公式的记忆。
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