造桥选址问题的拓展
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。
一、原题再现
如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。（人教课标七年级下册2007年第二版37页第7题）
分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。
我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。如图2。
证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。可知，AN1+N1B＞A1N+NB。
所以，路径AMNB要短于AM1N1B。
二、拓展应用
拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？
方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A2B最短。连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。所得路径AQPMNB最短。
方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。
如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A
1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。
拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？
方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A
3B最短。
连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2N，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。所得路径ASRQPMNB最短。
方法2：此处还可以先将A沿与河流1河岸垂直的方向平移两个单位到A1、A2，再将B沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B1；或先将A沿与河岸垂直的方向平移1个单位到A1，再将B沿与河岸平移2一个河宽到B1、B2，来选择修桥位置。（请同学们自己画出图形。）
拓展3：如图
9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？
方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ。所得路径AQPMNB最短。
方法2：也可以将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ。所得路径AQPNMB最短。
由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移后在一条直线上。
作者简介：宋毓彬，男，1966年4月出生。中学数学高级教师。先后在《中学数学教学参考》、《中学生数学》、《数理天地》、《语数外学习》、〈数理化学习〉、〈数理化解题研究〉、〈中学课程辅导〉、〈数理报〉、〈学习报〉、〈数学周报〉、〈数学辅导报〉、〈小博士报〉、〈数字世界报〉发表初中数学辅导类文章80多篇。致力于初中数学教学与中考方面的研究。
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