用好相似三角形中的对应高
──一道课本习题的变式探究
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
人教九年级数学下册复习题27第13题是一道应用“相似三角形对应高的比等于相似比”进行求解的几何问题。由此题生成的中考题和竞赛题近几年来频频出现，下面就这道习题的一般变式作系列探究。
一、原题再现
如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
分析：如图1，EFGH为正方形，则EF∥BC，AK⊥EF，
设正方形边长为x，△AEF的高可写成AK=AD—KD=AD—EF=80—x。
由△AEF∽△ABC，
即
即 解得x=48 即正方形零件的边长是48mm
点评：在应用相似三角形的性质解题时，同学们比较熟悉的性质是对应角相等、对应边成比例，而相似三角形中“对应高的比等于相似比”则不太熟悉。但在解决相似三角形的面积问题或内接四边形问题时，我们一定要注意用好相似三角形中的对应高。
二、拓展一：三角形内接矩形长宽间的数量关系探究
例1 如图所示，某校计划将一块形状为锐角△ABC的空地进行生态环境改造，已知△ABC的边BC长为120m，高AD长80m，学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上种花。问：当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？（
2009年鄂州市中考题）
分析：如图2，四边形EFGH为矩形，则GH∥BC，AK⊥GH，
设FG=x，AK=AD－FG=80—x
由△AHG∽△ABC，
即
，
即，HG=120－
x，又BE+FC=BC－EF=BC—HG=
x，又BE+FC=BC－EF=BC—HG=x
由S△AHG=S△BHE +S△GFC，
（120－x）（80—x）=·x·x 解得x=40即FG长40米时，种草的面积与种花的面积相等。
点评：利用相似三角形对应高的比等于相似比，将HG用GF的式子表示出来，是解题的关键。
三、拓展二：三角形内接矩形面积的最值问题探究
例2 BC=100米，高AH=100米。某单位要修建一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？有一块三角形土地，它的底边
分析：如图3，四边形EFGD为矩形，则GD∥BC，AK⊥GD，
设GF=x，则AK=AH—GF=100—x
由△ADG∽△ABC，
即
即DG=100—x，S四边形DEFG=（100－x）x= —（x—50）2+2500
x=50时，S四边形DEFG最大，此时DG=100—x=50，
即矩形长宽均为50米时地基面积最大。
点评：三角形形内接矩形的面积与矩形的长宽有关。借助相似三角形中边与高的关系，将矩形的长与宽联系起来，找出长与宽之间的数量关系，将面积表示成长或宽的二次函数式，进而可得到面积最大的限制条件。
四、拓展三：由一般到特殊的探究
例3 如图4，面积为a
－c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a、b、c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则
－c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a、b、c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则
的值等于 。（2006年全国初中数学竞赛）
分析：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m。作AH⊥BC交DG于K。
正三角形ABC中，AH=
m，则AK=AH—GF=m—x
m，则AK=AH—GF=m—x由S△ABC=1，·m·m=1，m2=
·m·m=1，m2=由△ADG∽△ABC， 即
，x=（2—3）m
即，x=（2—3）mx2=（2—3）2m2=28—48 即a－c=28—48，
—3）2m2=28—48 即a－c=28—48，∴a=28，b=3，c=48，=
=点评：已知三角形的面积，寻求正三角形与内接正方形的边长关系，进而得到面积关系，是解决本题的关键。但解决本题的如口仍然是借助相似三角形对应高的比将三角形的边长与正方形的边长联系起来。
五、拓展四：三角形内接矩形分割的各部分间面积关系探究
例4（武汉市初中数学竞赛初赛试题）如图5，点D、E在BC上，点F、G分别在AC、AB上，且四边形DEFG为正方形。如果S△CFE=S△AGF=1，S△BDG=3。那么S△ABC等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
分析：设正方形DEFG的边长为x。
作AH⊥BC于H，交GF于K。则AK⊥GF。
由S△CFE=S△AGF=1，S△BDG=3。
则EC=
，BD=
，AK=，BC=EC+BD+DE=x+
，BD=，AK=，BC=EC+BD+DE=x+
。
由△AGF∽△ABC，
即
，x4=16，x=2。
即，x4=16，x=2。∴S△ABC=1+1+3+22=9。
点评：要求S△ABC关键是要求出正方形的面积。正方形的边长与三个三角形均相关，通过相似三角形的对应高将与正方形边长有关线段联系起来，从而求出正方形的边长，问题就得到解决。
作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《语数外学习》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》、《课程导报》等报刊发表教学辅导类文章80多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。
| 中考政策 | 中考状元 | 中考饮食 | 中考备考辅导 | 中考复习资料 |