用好一元二次方程及根的定义
湖北黄石市下陆中学 宋毓彬
“回到定义上去”是求解数学问题的重要方法之一.求解一元二次方程有关问题时，经常会遇到需要根据相关定义特征进行求解，准确地用好定义则是解答这些问题的关键.
一、一元二次方程的定义问题
例1．下列方程是一元二次方程的是（ ）.
A．x
－2x=y； B．
－
＝3； C．（2x－1）=4x； D．
x－2x=1
分析：根据一元二次方程定义特征：①等号两边是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不为0.
A不符合②，B不符合①，C不符合③，只有D符合所有定义特征.故选（D）.
例2．如果关于x的方程（m－3）x
－x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为：
－x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为：A.±3； B.3； C.－3； D.都不对
分析：由一元二次方程的定义，未知数的最高次数是2，∴m－7=2， m=±3，又二次项系数不为0，即m－3≠0，∴m≠3，∴m=3 故选（B）
－7=2， m=±3，又二次项系数不为0，即m－3≠0，∴m≠3，∴m=3 故选（B）二、一元二次方程的项与系数的定义问题
例3.把方程（2x－1）（3x－2）=x+4化为ax+bx+c=0形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为：
+4化为ax+bx+c=0形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为：A.5，7，2； B.5，－7，2； C.5，―7，―2； D.5，7，－2
分析：形如ax+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程的一般形式.其中ax叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项.注意：一元二次方程的系数包括前面的符号.
+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程的一般形式.其中ax叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项.注意：一元二次方程的系数包括前面的符号.方程（2x－1）（3x－2）=x+4，经变形整理为：5x
+4，经变形整理为：5x－7x－2=0
∴a=5，b=－7，c=－2，故选（C）.
三、一元二次方程根的定义问题
例4.若x=1是一元二次方程ax+bx+c=0的根，则a+b= .
+bx+c=0的根，则a+b= .分析：由方程根的定义，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值.将方程的根代回到原方程中，方程左右两边必相等，这就是我们平常所说的“代根法”.
将x=1代入原方程得，a+b－2=0，∴a+b=2.
例5.若0是关于x的方程（m－2）x+3x+m+2m－8=0的解，求实数m的值.并讨论此方程解的情况.
+3x+m+2m－8=0的解，求实数m的值.并讨论此方程解的情况.分析：由方程根的定义，将0代入方程中，m+2m－8=0，（m+4）（m－2）=0，∴m
=－4，m
+2m－8=0，（m+4）（m－2）=0，∴m=－4，m
=2；
⑴当m=2时，原方程为3x=0，方程的解为：x=0 ；⑵当m=－4时，原方程为－6 x+3x=0，方程的解为：x=0，x=
=2时，原方程为3x=0，方程的解为：x=0 ；⑵当m=－4时，原方程为－6 x+3x=0，方程的解为：x=0，x=
例6.已知关于x的一元二次方程(k+4)x+3x+(k+4)(k－1)=0的一个根为0,求k的值.
+3x+(k+4)(k－1)=0的一个根为0,求k的值.分析：0是方程的根，代入到方程中得，(k+4)(k－1)=0，∴k=－4，k=1；
=－4，k=1；又方程是一元二次方程，∴k+4≠0，k≠4 ∴k=1.
作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师.在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章60多篇.主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究.
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