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08-27
准备考研的小伙伴们，有没有做好充分的准备迎接考研啊，下面由出国留学网小编为你精心准备了“2020考研数学：线代知识的四大特点分析”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
2020考研数学：线代知识的四大特点分析
一、内容抽象，尤其向量部分最为典型。 在现实生活中，我们可以看到一维空间、二维空间甚至是三维空间，但是对于三维空间我们是难以想象的。向量主要研究的就是三维向量，所以这就需要较强的抽象思维和逻辑推理能力，这一点对于侧重于计算能力培养的工科学生来说是一个难点。因此在学习的过程中，对所涉及的基本概念应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系以及它们的作用，一步步达到运用自如的境地。
二、概念多，性质多，定义多，定理多。 例如有关矩阵的，就有相似矩阵、合同矩阵、正定矩阵、正交矩阵、伴随矩阵等。在向量这部分，向量组线性相关的性质就10来个。
三、符号多，运算法则多，有些运算法则与以前的完全不同。 正如《2012年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲配套强化指导》第二篇线性代数部分所说的，对于数的运算我们满足交换律、结合律和消去律；但是矩阵的运算与之有相同的也有不同的，矩阵的运算不满足交换律和消去律，但是满足结合律。所以这些在复习的时候一定要注意区分。
四、内容纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。
线性代数内容之间的联系是比较紧密的。相对高数来说，它们的联系又是非常隐蔽的。以可逆矩阵为例，阶矩阵是可逆的，从行列式的角度有其等价说法，就是阶矩阵的行列式不等于0；从矩阵的角度它的等价说法是矩阵的秩等于阶数，从向量的角度描述，就是矩阵的行向量组是线性无关的，同时列向量组也是线性无关的，并且任何一个三维列（行）向量都可以由该矩阵的列（行）向量组来线性表示；从特征值的角度描述，就是矩阵的特征值都是非零的。
因此在学习的过程中，对所涉及的概念、性质及定理要理解，同时很多东西还要靠记忆，尤其要注意基本概念、基本方法之间的相互关系，有些问题是相互交错，相互渗透，似螺旋上升，比如矩阵的秩与向量组的秩、线性方程组与向量组的线性组合、线性相关之间的关系。弄清这些关系，一方面可对所涉及的概念通过不断重复而达到加深印象的目的，另一方面也能对问题有进一步的深入理解。
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考研数学：线代重点内容与题型
一.行列式
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考查行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。
1.重点内容:行列式计算
(1)降阶法
这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。
(2)特殊的行列式
有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。
2.常见题型
(1)数字型行列式的计算
(2)抽象行列式的计算
(3)代数余子式的线性组合
二.矩阵
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。有些性质得证明必须能自己推导。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。
1.重点内容：
(1)矩阵的运算
(2)初等变换和初等矩阵
(3)矩阵的秩
2.常见题型：
(1)计算方阵的幂
(2)与伴随矩阵相关联的命题
(3)有关初等变换的命题
(4)有关逆矩阵的计算与证明
(5)解矩阵方程(2013年至2016年连续出大题，2018出大题，要重视)
(6)矩阵秩的计算和证明
三.向量
向量部分既是重点又是难点，由于n维向量的抽象性及在逻辑推理上的较高要求，导致考生在学习理解上的困难。考生至少要梳理清楚知识点之间的关系，最好能独立证明相关结论。
1.重点内容：
(1)向量的线性表示
线性表示经常和方程组结合考查，特点，表面问一个向量可否由一组向量线性表示，其实本质需要转换成方程组的内容来解决，经常结合出大题。
(2)向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。同学们一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。
(3)向量组等价
要注意向量组等价与矩阵等价的区别。
(4)向量组的极大线性无关组和向量组的秩
(5)向量空间(数一)
2.常见题型：
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2017考研数学线代复习方法：先掌握科目3大规律
▶考研数学线性代数相比较高等数学和概率论而言，呈现明显不同的学科特点——概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容纵横交错以及知识点前后紧密联系。
如果说高等数学的知识点算“条”的话，那么概率论就应该算“块”，而线性代数就是“网”!具体来看，线性代数这整张网，又是由行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量以及二次型这6张小网相互交叉联结而成。而其中向量和线性方程组这两张网又在其中起着承前启后、上下衔接的关键作用。
通过上面的分析，大家是不是发现——向量和线性方程组是线性代数的重难点内容，也是考研的重点和难点之一?这一点也可以从历年真题的出题规律上得到验证。
关于第三章向量，无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是考察向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题。
关于第四章线性方程组，06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。
考研数学线性代数暑期强化复习阶段重点应放在充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法上，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。
▶向量—理解相关无关概念，灵活进行判定
向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义、性质和定理的理解，然后就是分析判定的关键在于：看是否存在一组不全为零的实数。
这部分题型有如下几种：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题(数一)。
要判断(证明)向量组的线性相关性(无关性)，首先会考虑用定义法来做，其次会用向量组的线性相关性(无关性)的一些重要性质和定理结合反证法来做。同时会考虑用向量组的线性相关性(无关性)与齐次线性方程组有非零解(只有零解)之间的联系和用矩阵的秩与向量组的秩之间的联系来做。
▶线性方程组——解的结构和(不)含参量线性方程组的求解
要解决线性方程组解的结构和求法的问题，首先应考虑线性方程组的基础解系，然后再利用基础解系的线性无关性、与矩阵的秩之间的联系等一些重要性质来解决线性方程组解的结构和含参量的线性方程组解的讨论问题，同时用线性方程组解结构的几个重要性质求解(不)含参量线性方程组的解。
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线代在考研数学中占有重要的比例，以下《2015考研数学：线代各章历年考点分布》由出国留学网考研频道精心提供，欢迎大家浏览参考。
第一章行列式，这一块唯一的重点是行列式的计算，主要有数值型和抽象型两类行列式的计算，06、08、10、12年的真题中均有抽象行列式的计算问题，而且均是以填空题的形式出现的，个别的还出现在了大题的第一问中。
第二章矩阵，重点在矩阵的秩、逆、伴随、初等变换以及初等矩阵、分块矩阵。这一章概念和运算较多，考点也较多，而且考点以填空和选择为主，当然也会结合其他章节的知识考大题。06、09、11、12年均考了一个小题是有关初等变换与矩阵乘法之间的关系，10年考了一个小题关于矩阵的秩，08年考了一道抽象矩阵求逆的问题。
第三章向量，可以分为三个重点，第一个是向量组的线性表示，第二个是向量组的线性相关性，第三个是向量组的秩及极大线性无关组。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题。
第四章线性方程组，有三个重点。第一个是线性方程组解的判定问题，第二个是解的性质问题，第三个是解的结构问题。06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。
第五章矩阵的特征值与特征向量，也是分三个重点。第一个是特征值与特征向量的定义、性质以及求法。第二个为矩阵的相似对角化问题，第三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考，12年、11年、10年09年都考了。
第六章二次型有两个重点。第一个是化二次型为标准形，同学们必须掌握两种方法，第一个是配方法，第二个是正交变换法。第二个重点是正定二次型的判定。11年考的一个小题，用通过正交变换法将二次型化为标准形，12年、11年、10年均以大题的形式出现，但主要用的是正交变换化二次型为标准形。
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一、矩阵的特征值与特征向量问题
矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：
1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题
这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。
2.矩阵(方阵)的相似对角化问题
这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会求矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
3.实对称矩阵的正交相似对角化问题
其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A.最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
二、二次型
二次型这一章节主要研究两个方面的问题：
1.二次型的标准化问题
二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。化二次型为标准形有两种方法：一是正交变换法;二是配方法。从历年考题来看，利用正交变化法化二次型为标准形是考研线性代数考查的重要方向，但是其实质就是实对称矩阵的正交相似对角化问题，也就是说实二次型的标准化问题与实对称矩阵的正交相似对角化问题是同一问题的两种不同的提法，并且这两种不同的提法在历年考研真题的大题中是交替出现的，因此掌握了实对称矩阵的正交相似对角化那么实二次型的标准化问题也就迎刃而解了。另外，在没有其他要求的情况下，利用配方法得到标准形可能更方便一些。本章节的内容除了会以大题的形式出现外，二次型的矩阵表示、二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空题、选择题中不可或缺的一部分。
2.二次型的正定性判断
此处的考点主要出现在填空题或者选择题中，一般考查的有两种形式的二次型：一是具体的数值型二次型;二是抽象的二次型。对于具体的数值型二次型来说，一般可通过判断其顺序主子式是否全部大于零来判别二次型是否为正定二次型;而抽象的二次型的正定性判断可以通过利用其标准形、规范形中的系数是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到证明，当然二次型的正定性判断问题的顺利解决是建立在熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件的基础之上的。
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