2.2转化思想
代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。
例2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）
解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4
∴A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4)，
将点C(0,2)代入，可求a=
∴
为所求
∴为所求⑵
；
； 提示：①ED=EB时，过E作BD垂线，可得
②直线BC的解析式为
，设
，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组
分别可求
和
。
，设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组 分别可求和。⑶方法1：连OP。如图4。
P（m，n）在抛物线上
上∴P（m， 
）
） S△CPO=S四边形ODPC－S△OCD
=S△POC+ S△PDO－S△OCD=
OC·|xp|+OD·|yp|—OC·OD
OC·|xp|+OD·|yp|—OC·OD =×2m+×2（）－×2×2
×2m+×2（）－×2×2 =－m
+
m=－（m－）+
m+m=－（m－）+当m=时，S△CPO面积最大，此时P（，）
时，S△CPO面积最大，此时P（，）方法2：过D作X轴的垂线，交PC于M，如图5。
易求PC的解析式为
，且
，故
，且，故
∴当
时，
，
时，，思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题
第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。
第⑵问，虽然题目要求是直接写出点E的坐标。但点E的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。
第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和P点坐标表示的面积。方法1是将四边形分割成两个三角形△POC、△POD，方法2，是通过过D点作垂线，直接将△BDC转化为△PDM、△CDM。
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