2．3极端值思想
代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。
例3．已知
为线段
上的动点，点
在射线
上，且满足
（如图1所示）．
为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．（1）当
，且点与点
重合时（如图2所示），求线段
的长；
，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图1中，联结
．当
，且点在线段上时，设点
之间的距离为
，
，其中
表示
的面积，
表示
的面积，求
关于的函数解析式，并写出函数定义域；
．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当
，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求
的大小。
，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小。解析：（1）AD=2，且Q点与B点重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×
=
。
=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×=。（2）如图：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则AQ=2－x。
由△BPF∽△BDP，
=
=
，又BF=PE
==，又BF=PE∴
=，∴PF=PE
=，∴PF=PE S△APQ=
（2－x）PF，S△PBC=×3PE
（2－x）PF，S△PBC=×3PE ∴y=
（2－x）
（2－x） P点与D点重合时，此时CQ取最大值。过D作DH⊥BC。
CD=
，此时
=，
=
，PQ=
，BQ=AB－AQ=
，此时=，=，PQ=，BQ=AB－AQ= ∴函数的定义域：0≤x≤
(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆。
由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB,
又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90°
方法2：如图3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由
==，即
==
==，即==∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90°
思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。
第⑴问，线段的比值不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。
不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出P点运动的极端情况，当P与D重合时，BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的固定线段比，求出此时BQ的长度，既为BQ的最大值。体现极端值思想。
⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。
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