横看成岭侧成峰 远近高低各不同
湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗名《题西林壁》．其中的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”表面意思是说，庐山从正面看，它是一道道连绵起伏的山岭；从侧面看，它是一座巍然耸立的险峰．从远处近处高处低处看，庐山呈现出不同的形象．
同是一枝梅花，有人赞叹它风骨傲霜，有人则感慨它孤寂落寞；同是一块石头，有人觉得它冥顽不化，有人则欣赏它坚韧固守；同样是半杯可乐，悲观的人说：“唉，只有半杯，”乐观的人说：“天啊，还有半杯．”同一种事物，理解缘何不同？其实很简单，人们观察事物的角度不同罢了．
在思维过程中善于改变看问题的角度，往往会收到意想不到的效果．因此我们要善于变换思考方式，尽可能地选择新视角，解决数学问题亦是如此．
例 (2010年山东青岛中考题)如图1，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第
6个图案需要＿＿枚棋子，摆第n个图案需要＿＿枚棋子．
图1 图
2
分析：解答此类问题要充分发挥数形结合的作用，注意从不同角度观察图形．
方法1 将图形分割成六边形
如图2，将图形分割成大小不同的六边形，从里向外，第1个六边形包含的棋子数为6×2-
6=6×1，第2个六边形包含的棋子数为6×3-6=6×2，第3个六边形包含的棋子数为6×4-6=6×3，…，第n个六边形包含的棋子数为6(n+1)-6=6n，因此摆第n个图案需要的棋子数为6×1+6×2+6×3+…+6n+1=(1+2+3+…+n)×6+1=
n(n+1)×6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1．
说明：方法1用到了这样一个公式：1+2+3+…+n=
n(n+1)，我们把它叫做高斯求和公式．
方法2 将图形分割成三角形
①按如图3的方式将图形分割成六个全等的三角形，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n+1=
(n+1)(n+2)，六个三角形包含的棋子数为(n+1)(n+2)×6=3(n+1)(n+2)，减去重复的六条边包含的棋子数6(n+1)，得3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了6次，减去重复的六条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图3 图4
说明：在计算棋子数时要注意正确处理重复部分，既不能多算，也不能漏算．
②按如图4
的方式将图形分割成六个全等的三角形，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n=n(n+1)，六个三角形包含的棋子数为n(n+1)×6=3n2+3n．加上正六边形的中心处的棋子，得第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
方法3 将图形分割成平行四边形
如图5，将图形分割成三个全等的平行四边形，每个平行四边形包含的棋子数为n(n+1)，3个平行四边形包含的棋子数为3n(n
+1)，加上正六边形的中心处的棋子，得第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图5
如图6，将图形分割成三个全等的菱形，每个菱形包含的棋子数为(n+1)2，3个菱形包含的棋子数为3(n+1)2，减去重复的三条边包含的棋子数3
(n+1)，得3(n+1)2-3(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了3次，减去重复的三条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图6
方法5 将图形分割成平行四边形和菱形
①按如图7的方式将图形分割成平行四边形和菱形，则平行四边形包含的棋子数分别为n(n+1)，两个菱形包含的棋子数为(n+1)2和n2，所以第n
个图案需要的棋子数为n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
图7
②按如图8的方式将图形分割成平行四边形和菱形，则上面两个平行四边形包含的棋子数n(n+1)，下面两个平行四边形包含的棋子数为(n
+1)2，中间菱形包含的棋子数为n2，所以第n个图案需要的棋子数为n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
图8
方法6 将图形分割成菱形和三角形
如
图9，将图形分割成两个菱形和两个三角形，则每个菱形包含的棋子数为(n+1)2，每个三角形包含的棋子数为1+2+3+…+n+1=(n+1)(n+2)，两个菱形和两个三角形包含的棋子数为2(n+1)2+(n+1)(n+2)=3n2+7n+4．减去重复的四条边包含的棋子数4(n+1)，得3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n．由于处于正六边形的中心处的棋子重复计算了4次，减去重复的四条边包含的棋子数后的结果不包含这枚棋子，所以结果应再加上这枚棋子，即第n个图案需要的棋子数为3n2+3n+1．
图9
方法7 将图形分割成梯形
如图10，将图形分割成梯形，先看中心线上面的梯形，从里向外，第1个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)
包含的棋子数为3×1-1=2，第2个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为3×2-1=5，第3个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为3×3-1=8，…，第n个梯形的上底和两腰(除去下底的两个顶点)包含的棋子数为3n-1，所以这n个梯形含的棋子数为3×1-1+3×2-1+3×3-1+…+3n-1=(1+2+3+…+n)×3-n=
n(n+1)-n．
图
10
由对称性可知，中心线下面n个梯形包含的棋子数也为n(n+1)-n，而中心线包含的棋子数为2n+1．所以第
n个图案需要的棋子数为[n(n+1)-n，而中心线包含的棋子数为2n+1．所以第n(n+1)-n]×2+2n+1=3n2+3n+1．
感悟：看似一道普通的“用代数式描述图形规律”题，我们通过从不同的角度进行观察图形、探究图形的构成，不仅体验到了探究数学的乐趣，而且培养了我们的发散思维能力和创新思维，使我们的思维变得更加灵活．
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